Bestimmtes Integral

11.02.2009, 16:34	herta	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmtes Integral Hallo, ist denn für ein $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ das Integral $\begin{eqnarray} \int_{-a}^a \frac{1}{x} dx \end{eqnarray}$ definiert? Ich dachte erst, es wäre 0, aber da im Intervall [-a,a] ja 0 enthalten ist glaube ich, das Integral ist nicht lösbar.
11.02.2009, 18:10	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral ist so wirklich nicht a priori definiert. Die Definition setzte eine Funktion $\begin{eqnarray} f:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ voraus um ein Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_a^bf(x)\dd x \end{eqnarray}$ zu definieren, das heisst eine Funktion die überall im betrachteten Intervall erklärt ist. Also ist das Integral so nicht OK, denn bei $\begin{eqnarray} 0\in[-a,a] \end{eqnarray}$ ist deine Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ nicht definiert. Man könnte allerdings sagen, dass damit $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\int\limits_{-a}^{-h}\frac{1}{x}\dd x + \lim_{h\to0}\int\limits_{h}^a\frac{1}{x}\dd x \end{eqnarray}$ gemeint ist und dem Ausdruck auf diese Weise einen Sinn geben.
11.02.2009, 20:17	herta	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ok. Aber "lösen" kann man das Integral dann auch nicht, weil es ja $\begin{eqnarray} - \infty + \infty \end{eqnarray}$ ergäbe, oder?
11.02.2009, 20:20	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du Recht.

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