Gleitkommazahl

08.09.2006, 11:11

Ambrosius

Gleitkommazahl

Folgende Def einer Gleitkommazahl steht bei mir im Skript:

Ein (normalisierte) Gleitkommazahl zur Basis $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist eine reele Zahl x in der Form $\begin{eqnarray*} x = \pm m \cdot b^{\pm e} \end{eqnarray*}$ mit Mantisse $\begin{eqnarray*} m = 0.m_1...m_r \end{eqnarray*}$ und Exponent e. Die $\begin{eqnarray*} m_i \in \{ 0,...,b-1 \} \end{eqnarray*}$ .

Soweit so gut. Warum ist aber die Mantisse immer eine Zahl mit 0,etc?? Das versteh ich nicht. vor allem weil danach als Bsp die Lichtgeschwindigkeit gegeben wird mit $\begin{eqnarray*} c = 2.998 \cdot 10^{10} cm/s \end{eqnarray*}$ Hier ist die Matisse ja auch 2.9. Beißt sich doch mit der obigen def oder nicht?

Müsste es nicht heißen $\begin{eqnarray*} c = 0.2998 \cdot 10^{11} \end{eqnarray*}$ im sinne der obigen Def?

EDIT: Da kommt auch gleich noch ein zweite Frage auf:

Wie kommt man auf die Abschätzung: $\begin{eqnarray*} | x -rund(x)| \leq \frac{1}{2} b^{-r} b^{e} \end{eqnarray*}$

08.09.2006, 11:35

Ben Sisko

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RE: Gleitkommazahl

Zitat:

Original von Ambrosius
Müsste es nicht heißen $\begin{eqnarray*} c = 0.2998 \cdot 10^{11} \end{eqnarray*}$ im sinne der obigen Def?

Das ist aber dieselbe reelle Zahl und nix anderes sagt die Definition ja.

08.09.2006, 11:38

Ambrosius

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ja gut. also muss eine mantisse nicht zwangsläuf mit 0, irgendwas beginnen. das reicht ja schon.

und wie siehts nun mit der ungleichung aus? irgendwie ist das nirgends vernünftig erklärt, und ich komm einfach nicht drauf

08.09.2006, 11:45

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Ambrosius
ja gut. also muss eine mantisse nicht zwangsläuf mit 0, irgendwas beginnen. das reicht ja schon.

Naja, man müsste wohl sagen, "es gibt eine Darstellung, sodass die Mantisse mit o, beginnt". (Ich glaube diese Unterscheidung wird nochmal wichtig, wenn du dir später Gedanken darüber machst, wo "Lücken" in der Darstellung als Gleitkommazahl sind).

Zitat:

Original von Ambrosius
und wie siehts nun mit der ungleichung aus? irgendwie ist das nirgends vernünftig erklärt, und ich komm einfach nicht drauf

Bei sowas darfst mich eigentlich nicht fragen Augenzwinkern

Aber wie ist denn rund(x) genau definiert? Einfaches Runden auf eine ganze Zahl?

08.09.2006, 16:36

Ambrosius

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also es ist definiert als $\begin{eqnarray*} rd(x) = \left\{ \begin{array}{c}0.m_1 ...m_{53} \quad \mbox{für} m_{54} = 0 \\ (0.m_1 ...m_{53} + 2^{-53}) \cdot 2^e \quad \mbox{für} m_{54} = 1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Genauer ist alles hier: http://numerik.iwr.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/

unter numerische Mathematik 0, auf Seiten 5 und 6

11.09.2006, 15:15

Ambrosius

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Also ich schreibe alles noch etwas ausführlich und anders.

Sei $\begin{eqnarray*} x = M \cdot b^E \end{eqnarray*}$ (Ich setze x > 0 voraus) eine normalisierte Gleitkommazahl zur Basis $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit Mantisse $\begin{eqnarray*} M = 0.m_1....m_r \end{eqnarray*}$ .

Die Rundung ist definiert als

$\begin{eqnarray*} rd(x) = \left\{ \begin{array}{c}0.m_1 ...m_{r} \cdot b^E \\ (0.m_1 ...m_{r} + b^{-r}) \cdot b^E \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Nun zur Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} | x -rd(x) | = |M \cdot b^E - (M + b^{-r})\cdot b^E| = b^{-r} \cdot b^E \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun aber auf $\begin{eqnarray*} | x -rd(x) | \leq \frac{1}{2} b^{-r} \cdot b^E \end{eqnarray*}$ wie es richtig ist?

EDIT: Habs gelöst!

Thx @ Ben Sisko und alle anderen die sich Gedanken darüber gemacht hab

12.09.2006, 02:00

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Ambrosius
EDIT: Habs gelöst!

Dann poste doch die Lösung der Vollständigkeit halber auch noch! Wink

12.09.2006, 09:41

Ambrosius

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okay!

Also sei $\begin{eqnarray*} x = m_1...M_r...10^E \end{eqnarray*}$ eine normalisierte Gleitkommazahl. Ich setze b der einfachheit halber mal 10.
Ich schreibe den rundungsoperator etwas um:

$\begin{eqnarray*} rd(x) = \left\{ \begin{array}{c}0.m_1 ...m_{r} \cdot 10^E \quad 0 \leq m_{r+1} \leq 4 \\ (0.m_1 ...m_{r} + 10^{-r}) \cdot 10^E \quad m_{r+1} \geq 5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} | x - rd(x)| = |x - (0.m_1 ...m_{r} + 10^{-r}) \cdot 10^E| \leq 10^E \cdot 5 \cdot 10^{-{r+1}} =10^E \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10^{-r} \cdot 10^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 10^E \cdot 10^{-r} \end{eqnarray*}$

12.09.2006, 15:14

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@Ambrosius

Deine Lichtgeschwindigkeit ist um den Faktor 100 höher als im restlichen Universum. Teufel

12.09.2006, 15:43

Ambrosius

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Deine Lichtgeschwindigkeit ist um den Faktor 100 höher als im restlichen Universum. Teufel

Jap, habs verbessert. smile

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Gleitkommazahl

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