Elementare Zeilen Umformung bei Matrizen - Erklärung für MatheDAUS gesucht.

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suspekt Auf diesen Beitrag antworten »
Elementare Zeilen Umformung bei Matrizen - Erklärung für MatheDAUS gesucht.
Hallo!

Ich habe folgendes Problem:

Wenn ich bei einer Matrix eine EZU vornehmen möchte, stehe ich regelmäßig davor, wie der vielzitierte Ochs vorm Berg.
Eigentlich kann es ja nicht so schwer sein. Aber ich rechne und rechne um teils nach mehreren Stunden (!) eine vollkommen verhunzte Matrix vorzufinden und wieder von vorne anzufangen.
Langsam nimmt der Druck zu, da in der Klausur nächste Woche alles von der richtigen EZU abhängt. Keine EZU - keine Punkte für die ganze Aufgabe. unglücklich



Wer kann mir erklären, wie ich am einfachsten an eine solche Umformung herangehe um am Ende die (E)(I)nheitsmatrix zu erhalten?

vgl gauß-jordan:

2 -2 3 | 1 0 0
1 1 2 | 0 1 0
2 -1 -1 | 0 0 1



Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt erklären, wie ich hier vorgehen soll und vor allem bitte warum ich so vorgehe?
Dafür wäre ich in höchstem Maße dankbar. smile
Ich verstehs nämlich einfach nicht.

Das latex ist mir noch nicht so recht gelungen habe zum ersten mal damit gearbeitet. Aber ich hoffe man kann sehen, was ich meine.


Ganz liebe Grüße,

Dirk
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Elementare Zeilen Umformung bei Matrizen - Erklärung für MatheDAUS gesucht.
Hallo Dirk,

Irgendwer muss ja mal antworten, also mache ich das mal.

Zuerst habe ich mich zurückgehalten, da ich nicht so recht weiß, worauf Du mit den "elementaren Zeilenumformungen" hinauswillst, schließlich ist das meines Wissens nach kein Algorithmus, sondern es sind eben nur Umformungen. Erlaubt ist es, eine Zeile mit einer reellen Zahl ungleich null zu multiplizieren und eine Zeile zu einer anderen zu addieren. Normalerweise will man damit auf eine Dreiecksgestalt kommen und das nennt sich dann Gauß-Algorithmus. Dieser wird schon in der Schule ausführlich behandelt.

Beispiele gibt es dazu genug: klick

Gruß,
Reksilat.
suspekt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Vielleicht habe ich mich wirklich missverständlich ausgedrückt.

Es geht mir genau um diese Umformungen um am Ende die Dreiecksmatrix oder Einheitsmatrix herauszubekommen.


Gegeben ist die Matrix mit nebenstehender Einheitsmatrix



Am Ende soll die Einheitsmatrix auf der anderen Seite stehen um auf der ursprünglichen Seite die invertierte Matrix zu bekommen.


Ich komme aber beim besten Willen nicht auf das vom Prof vorgegebene Ergebnis. Die Regeln der EZU sind ja nun wirklich nicht kompliziert, aber ich bekomme immer wilde Brüche oder riesige Zahlen.


Vielleicht ist dies so besser erklärt?


Das Ergebnis der EZU soll übrigens lauten:





Ich versuche es mal nach dem Schema, welches in dem von dir genannten Link steht, vielleicht habe ich damit mehr Erfolg. Danke, so etwas habe ich gesucht. Big Laugh



Ach ja: wenn ich etwas anderes raushabe, kann das dann trotzdem richtig sein?
Ich weiß, dass der Prof das Ergebnis so gestaltet, das keine Brüche vorkommen. Wenn ich aber Brüche habe, ist dies dann auf jeden Fall falsch?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Für's nächste Mal: Augenzwinkern



code:
1:
[latex]\begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} a&b&c&1&0&0 \\ d&e&f&0&1&0 \\ g&h&i&0&0&1 \end{array} \end{pmatrix}[/latex]
Himbeer-Toni Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von suspekt
Ich komme aber beim besten Willen nicht auf das vom Prof vorgegebene Ergebnis. Die Regeln der EZU sind ja nun wirklich nicht kompliziert, aber ich bekomme immer wilde Brüche oder riesige Zahlen.

Abgesehen von harmlosen kleinen Brüchlein mit 2 oder 4 im Nenner, war da nix.
Da musst Du Dich wohl mal besser konzentrieren, richtig rechnen und nicht zu viele Umformungen in einem Schritt vornehmen!
Is halt etwas Schreibarbeit - aber wie heißt es doch so schön: Wer schreibt - der bleibt!

Zitat:
Original von suspekt
Ach ja: wenn ich etwas anderes raushabe, kann das dann trotzdem richtig sein?
Ich weiß, dass der Prof das Ergebnis so gestaltet, das keine Brüche vorkommen. Wenn ich aber Brüche habe, ist dies dann auf jeden Fall falsch?

Wenn Du tatsächlich andere Werte rausbekommst, dann ist Dein Ergebnis auf jeden Fall falsch!

Die angegebene Lösung stimmt jedenfalls.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nur wenn eine Matrix invertierbar ist, existiert auch eine Inverse und diese ist dann auch immer eindeutig.

Zu den Rechenproblemen:
Versuche doch erstmal die Brüche rauszulassen, d.h. ziehe nicht das 1/2-fache der ersten Zeile von der zweiten ab, sondern multipliziere zuerst die zweite Zeile mit (-2) und die dritte mit (-1). Addiere erst im nächsten Schritt die erste Zeile zu den anderen dazu. Damit sollten sich Fehler beim Vorzeichenwechsel und bei Brüchen vermeiden lassen.
Erst wenn Du am Ende links eine Diagonalmatrix hast, dividierst Du dann durch die Einträge auf der Hauptdiagonalen - da im Beispiel die Inverse ganzzahlig ist, wirst Du hier komplett ohne Brüche auskommen.
 
 
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