Natürlicher Logarithmus + Betrag?!

11.02.2009, 18:24	veloca	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlicher Logarithmus + Betrag?! Hallo zusammen! Ich bin Schüler aus der K12 im Grundkurs Mathe und stehe vor folgendem Problem; vielleicht kann mir hier jemand den richtigen Denkanstoß geben... Ich muss in ein paar Tagen eine Präsentation der Hausaufgabe machen und das Ganze ist gekoppelt mit einer Ausfrage...die ersten drei Aufgaben sind kein Problem, aber an der letzten scheitere ich leider Ich hoffe, es ist erlaubt, dass ich die Frage einfach eins zu eins hier hinschreibe, aber ich will ja keine Komplettlösung von euch, sondern nur einen Denkanstoß... Ergänze D-max, skizziere G(f) und bilde f' von (a) f(x)= $\begin{eqnarray} \mid lnx\mid \end{eqnarray}$ (b) f(x)= ln $\begin{eqnarray} \mid x\mid \end{eqnarray}$ und (c) f(x)= ln $\begin{eqnarray} \mid x+1\mid \end{eqnarray}$ Grüße! Wolfgang
11.02.2009, 18:28	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sehen denn deine Überlegungen dazu aus? Hast du dir das ganze schon mal skizziert? Das würde warscheinlich schon reichen...
11.02.2009, 18:30	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
D-max bezeichnet wahrscheinlich den maximal Definitionsbereich? In diesem Fall überlege zb für die Aufgabe (a) für welche $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ der Ausdruck $\begin{eqnarray} \ln(x) \end{eqnarray}$ definiert ist. Alle für die das nicht definiert ist, müssen schonmal herausgenommen werden aus D-max. Dann überlege für welche verbleibenden $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ der Betrag davon noch definiert ist. Um die Ableitung zu finden musst du auf den Betrag aufpassen, denn dieser ist nicht überall differenzierbar...
12.02.2009, 15:02	veloca	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr! Dank erstmal für die Antworten :-) Die Ableitungen zu zwei Aufgaben hab ich nun glaub ich heraus... Stimmt folgendes: f' von (b) = 1/x f' von (c) = 1/x+1 Aber wie sieht die Ableitung von der (a) aus? @ System-Agent Ln(x) ist ja nur für positive Zahlen definiert und der Betrag davon dann vlt nur im Intervall [1,unendlich] ? Da ja Ln(x) im Bereich von 0<x>1 negativ wäre? Ich hab aber immer noch Probleme beim Skizzieren, dieser verdammte Betrag stört mich einfach! Grüße
12.02.2009, 18:00	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum skizzieren kann dir der Funktionsplotter hier im Board helfen. Wie ich sagte, das mit der Ableitung ist Humbug, man muss zuerst mal sehen, WO man überhaupt eine Ableitung hat ! Wie gesagt, der Betrag ist nicht überall differenzierbar ! Schau dir mal folgendes an: $\begin{eqnarray} \ln(\|\sin(x)\|) \end{eqnarray}$ Gesucht ist der maximale Definitionsbereich. Nun zuerst ist $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert, also das gibt keine Einschränkung. Der Betrag einer reellen Zahl [diese reelle Zahlen wären hier alle Werte des Sinus] ist immer definiert, der macht also auch keine Probleme. Insbesondere nimmt $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ nur Werte zwischen -1 und 1 an. Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray} \|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ nur Werte zwischen 0 und 1 annimmt [der Betrag "klappt" alles negative nach oben]. Nun der Logarithmus ist nur für Zahlen >0 definiert. Da $\begin{eqnarray} \|\sin(x)\| \end{eqnarray}$ immer zwischen 0 und 1 schwankt, kann man die negativen Zahlen als Problemfälle vergessen. Es gibt nur noch Probleme, wenn $\begin{eqnarray} \|\sin(x)\|=0 \end{eqnarray}$ , denn dann stünde $\begin{eqnarray} \ln(0) \end{eqnarray}$ da und das ist ebenfalls nicht definiert! Da der Sinus gerade die Nullstellen $\begin{eqnarray} k\pi \end{eqnarray}$ hat, mit $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ , ist der maximale Definitionsbereich gerade $\begin{eqnarray} \mathbb R\setminus\{k\pi\quad:\quad k\in\mathbb Z\} \end{eqnarray}$ .

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