Konvergenz Folge von Ereignissen, Konvergenz W_maß

11.02.2009, 18:49

Suzanna

Konvergenz Folge von Ereignissen, Konvergenz W_maß

Ich hab eine Frage zu einem Ereignis $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ und zwar:

$\begin{eqnarray*} A_n := \left\{\omega: \int y dF_n(y|x) (\omega) \notin \left\{Y_1, \ldots Y_n \right\}\right\} \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} F_n(y|x) = \sum_{i=1}^n Y_i W_{ni}(x, X_1, \ldots, X_n) \end{eqnarray*}$ , also ein gewichtetes Mittel der Y_i. (W_ni ist bei meiner Frage nicht soo interessant. Ihr kennt ja sicher alle die normale emprirische VF F_n, die immer 1/n gewicht auf die einzelnen Y_i gibt, hier sind es eben unterschiedliche Gewichte, aber insgesamt ist genauso die Summe über die W_ni gleich 1).

Ok, ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} \int y dF_n(y|x) = \sum Y_i W_{ni}(x, X_1, \ldots, X_n) \end{eqnarray*}$ , d.h. der Schwerpunkt liegt nicht auf einem der Y_j, sprich, ich bekomme im Mittel durch F_n(y|x) nicht eines der Y_i geliefert.

Was passiert nun, wenn $\begin{eqnarray*} A_n \rightarrow A_\infty \end{eqnarray*}$ ?

In einem anderen lemma hab ich, dass sup|F_n(y|x) - F(y|x)|, also geht

$\begin{eqnarray*} \int y dF_n(y|x) \rightarrow \int y dF(y|x) \end{eqnarray*}$ . Dabei ist F(y|x) durch ein F_0((m(x) - y)/\sigma(x)) parametrisiert und F_0 ist stetig und symmetrisch.

Ist $\begin{eqnarray*} A_\infty \end{eqnarray*}$ dann gleich $\begin{eqnarray*} \left\{\omega: \int y dF(y|x) (\omega) \notin \bigcup_{n} \left\{Y_1, \ldots Y_n \right\}\right\} \end{eqnarray*}$ ?
Kann ich irgendwie schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} P[A_n] \rightarrow P[A_\infty] = 1 \end{eqnarray*}$ ? Bräuchte nämlich dringend die Aussage, dass P[A_n] gegen 1 geht...

Kann da jemand helfen?? unglücklich

11.02.2009, 19:00

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Schwierigkeiten mit deiner ganzen Symbolik, sehe vor allem, dass da einiges nicht stimmig ist, z.B. das:

Zitat:

Original von Suzanna
dabei ist $\begin{eqnarray*} F_n(y|x) = \sum_{i=1}^n Y_i W_{ni}(x, X_1, \ldots, X_n) \end{eqnarray*}$

[...]

Ok, ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} \int y dF_n(y|x) = \sum Y_i W_{ni}(x, X_1, \ldots, X_n) \end{eqnarray*}$

Beides mal die gleiche rechte Seite??? Und was ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ im oberen Fall, wie hängt das mit den $\begin{eqnarray*} Y_i \end{eqnarray*}$ zusammen? Fragen über Fragen.

11.02.2009, 19:07

Suzanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Huppala, da hab ich mich vertippt, ich meinte

$\begin{eqnarray*} F_n(y|x) = \sum_{i=1}^n = W_ni(x, X_1, \ldots, X_n) 1(Y_i \leq y) \end{eqnarray*}$ ,

ich sozusagen Paare (Xi, Yi), i = 1, ..., n. Mein x sei fest vorgegeben, dann betrachte ich die bedingte empirische VF für dieses gegebene realisierte x.

Macht es das klarer?

11.02.2009, 19:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das wäre geklärt. Augenzwinkern

Die $\begin{eqnarray*} Y_1,\ldots,Y_n \end{eqnarray*}$ sind Zufallsgrößen? Die Gewichte auch (zumindest Funktionen anderer Zufallsgrößen) `?

Also ohne weitere Informationen über diese Zufallsgrößen und Gewichtsfunktionen stellt sich für mich die Frage, ob deine Ereignisfolge $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert! Ok, man kann natürlich zunächst $\begin{eqnarray*} \liminf\limits_n A_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \limsup\limits_n A_n \end{eqnarray*}$ betrachten ...

Und noch eine Frage: In welchem Sinne ist diese Konvergenz zu verstehen

Zitat:

Original von Suzanna
$\begin{eqnarray*} \int y dF_n(y|x) \rightarrow \int y dF(y|x) \end{eqnarray*}$ .

Das stehen auf beiden Seiten Zufallsgrößen, also was ist es:

stochastische, fast sichere Konvergenz, oder Konvergenz im quadratischen Mittel...

11.02.2009, 22:33

Suzanna

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Y_i sind meine Zufallsvariablen. Im Grunde habe ich die Zufallspaare (X_i, Y_i). Die Gewichte sind daher so definiert, dass, wenn ich wissen will wie der y-Wert zu einem x ist, das nicht mit einem der X_i zusammenfällt, ich mir die X_i Werte, die in der Nähe dieses x anschaue und deren zugehörige Y_i Werte stärker gewichte (da wahrscheinlich ist, dass das y ähnlich ist), als die zu den X_i gehörigen Y_i Werten, die weiter entfernt von meinem x sind.

In einem Lemma wird bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} \sup_y |F_n(y|x) - F(y|x)| \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Und zwar sowohl stochastisch als auch fast sicher. Damit hab ich ja gleichmäßige Konvergenz der Wahrscheinlichkeit nach und fast sicher.

Damit gilt ja auch $\begin{eqnarray*} F_n(y|x) \rightarrow F(y|x) \end{eqnarray*}$
punktweise in allen y fast sicher.

Was wiederum der Konvergenz der Verteilung nach oder schwachen Konvergenz fast sicher gleichkommt. Und schwache Konvergenz kann man ja bekanntlich auch als

$\begin{eqnarray*} \lim \int f dP_n \rightarrow \int f dP \end{eqnarray*}$ schreiben, wenn $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ das zu $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ gehörige W-Maß und P zu F gehörig ist und f eine beschränkte und stetige Funktion.
Anscheind kann man das auch äquivalent mit F_n und F schreiben (so wie in meinem vorherigen Text), wobei ich nicht ganz so versteh warum. Der Satz von Helly-Bray sagt die eine Richtung (kannst mal bei Wiki gucken, da steht der drin).
Wobei das Problem besteht, dass f(y) = y ja keine beschränkte Funktion ist.

Aber ich muss irgendwie hinbekommen, dass P[A_n] gegen 1 geht.

Muss nämlich eigentlich einen Nullstellenexistenz-Beweis führen und zwar dass diese Nullstellen mit WSK, die gegen 1 geht existierten.
Das heißt doch, es muss ein Ereignis A_n existierten mit $\begin{eqnarray*} P[A_n] \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ , so dass es ein $\begin{eqnarray*} \omega \in A_n \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für dieses $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ meine Nullstelle existiert.

Den Nullstellenbeweis hab ich also geführt und er stimmt auch genau auf meiner wie unten definierten Menge $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ .

Deshalb will ich jetzt zeigen, dass P[A_n] gegen 1 geht, damit meine Aussage stimmt.

HILFE! ;-). Wäre super, wenn du mir irgendwie weiterhelfen könntest, wenn noch was unklar ist (leider ist das ganze sehr komplex), dann sag bescheid.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz Folge von Ereignissen, Konvergenz W_maß

Verwandte Themen