nichtlineares gleichungssystem

08.09.2006, 11:34

Iri

nichtlineares gleichungssystem

Hi allerseits,

ich habe ein nichtlineares Gleichungssystem mit Einzelgleichungen der Form

$\begin{eqnarray*} x_{ab}^2 - \left( \sum_{i\neq a} (x_{ib}) +\sum_{j\neq b} (x_{aj}) +C_{ab} \right) x_{ab} +\left( 1- \sum_{j\neq b} (x_{aj})\right)\cdot\left(D_{ab}- \sum_{i\neq a} (x_{ib})\right) =0 \end{eqnarray*}$

Beziehungsweise natürlich mit Gleichungen in der durch die Mitternachtsformel nach $\begin{eqnarray*} (x_{ab})_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$ aufgelösten Form (die noch etwas länger ist, deshalb hier bloss die quadratische Gleichung).

Die Indices a und b bezeichnen die gerade berechnete Variable, diese hängt von allen anderen Variablen ab. Es existieren genausoviele Gleichungen wie Variablen ( und zwar genau I * J Gleichungen, mit i={1..I} und j={1..J } ) C und D sind Konstanten, jedoch für jeden Index ab verschieden . Die Lösung für x soll zwischen 0 und 1 liegen, deshalb muß bei *jeder* quadratischen Gleichung nur eine der Lösungen berücksichtigt werden.

Jetzt kann man natürlich:

- normal über die Gleichungen iterieren
- ableiten und mittels eines multidimensionalen Newton-Verfahrens iterieren

Die Gleichungen des nichtlinearen Gleichungssystems sind jedoch "nur" quadratisch, zudem habe ich für jede Gleichung nur genau eine Lösung. Nun frage ich mich, ob für diesen Spezialfall nicht vielleicht doch in irgendeiner Form ein nicht-iteratives Verfahren möglich wäre?

Es gibt noch Zusatzbedingugen für beide in der Gleichung vorkommenden Summen, z.B.
$\begin{eqnarray*} \sum_{i} (x_{ib}) +E_a=0 \end{eqnarray*}$ (E ist dabei eine Konstante und in den oben verwendeten zusammenfassenden Konstanten C und D enthalten), die bei einem iterativen Verfahren auf jeden Fall nützlich sein sollten.

Wäre das Gleichungssystem massiv überdefiniert, könnte ich Dinge wie "eXtended Linerization" in Erwägung ziehen. Das System ist jedoch nicht überdefiniert, so dass dies wohl nicht möglich ist.

Hat irgendjemand eine Idee, wie man das Lösungsverfahren noch abkürzen könnte?
Wäre für jede Idee dankbar

Gruss
I

08.09.2006, 14:53

irre.flexiv

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RE: nichtlineares gleichungssystem
Ist über $\begin{eqnarray*} C_{ab} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} D_{ab} \end{eqnarray*}$ noch irgendwas bekannt?

08.09.2006, 20:42

Iri

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RE: nichtlineares gleichungssystem

Zitat:

Ist über $\begin{eqnarray*} C_{ab} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} D_{ab} \end{eqnarray*}$ noch irgendwas bekannt?

Nun, die Werte von $\begin{eqnarray*} C_{ab} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{ab} \end{eqnarray*}$ sind bekannt :-)

Was genau meinst du?

Tatsächlich berechnen sich die beiden Konstanten nocheinmal aus lauter anderen bekannten Konstanten, die ich aber der Einfachheit halber weggelassen habe.

Iri

08.09.2006, 22:34

irre.flexiv

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Naja, falls $\begin{eqnarray*} C_{ab} = -1-D_{ab} \end{eqnarray*}$ gelten sollte, wären $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{j\neq b} (x_{aj})-1\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i\neq a} (x_{ib})-D_{ab}\right) \end{eqnarray*}$ Nullstellen der quadratischen Gleichung. Aber das wäre wahrscheinlich zu schön um wahr zu sein =)

10.09.2006, 17:27

Iri

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Nein, so einfach ist es nicht, du bist aber "nahe dran" (mathematische Intuition? Gibbes sowas?):

$\begin{eqnarray*} C_{ab} = -1-D_{ab}-E_{ab} \end{eqnarray*}$

(hoffentlich habe ich nirgends bisher einen Fehler beim Umformen in die vereinfachte Form gemacht....)

und $\begin{eqnarray*} E_{ab} \end{eqnarray*}$ errechnit sich aus einer vollständig unabhängigen Konstante, die für jede Gleichung bzw. jedes xij definiert ist.

Wie bist du denn auf diese Nullstellen für $\begin{eqnarray*} C_{ab} = -1-D_{ab} \end{eqnarray*}$ gekommen?
Das sehe ich der Gleichung nicht an

10.09.2006, 17:58

Iri

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Gah wusst ich doch, ich würd irgendwo einen Übertragfehler einbauen :-(
Das Vorzeichen vor der ersten Summe muss umgekehrt sein:

$\begin{eqnarray*} x_{ab}^2 + \left( \sum_{i\neq a} (x_{ib}) -\sum_{j\neq b} (x_{aj}) -C_{ab} \right) x_{ab} +\left( 1- \sum_{j\neq b} (x_{aj})\right)\cdot\left(D_{ab}- \sum_{i\neq a} (x_{ib})\right) =0 \end{eqnarray*}$

10.09.2006, 18:14

irre.flexiv

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Naja Intuition ist zu viel gesagt. Sind p und q die Nullstellen eine quad.Gleichung dann gilt $\begin{eqnarray*} x^2-(p+q)x+pq=0 \end{eqnarray*}$ (Satz von Vieta oder so).
Die Gleichung oben sieht ja so ähnlich aus. Bischen rumrechnen und man hats =)

Bist die sicher das die Korrektur jetzt richtig ist?

10.09.2006, 18:20

Iri

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Vermutlich willst du darauf hinaus... für

$\begin{eqnarray*} A=1-\sum_{i\neq a} (x_{ib}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} B=D-\sum_{j\neq b} (x_{aj}) \end{eqnarray*}$

und einem G, das im vorherigem C enthalten war, lässt sich die Gleichung schreiben als:

$\begin{eqnarray*} x_{ab}^2 - (A + B + G) x_{ab} + A\cdot B =0 \end{eqnarray*}$

Für G=0 erhält man dann die Lösungen A und B.

Sehr gut gesehen (vorallem noch an der unvollständigen Gleichung)!

Kann man das eventuell benutzen, um einfacher an eine Lösung für G>0 zu gelangen?

10.09.2006, 18:26

irre.flexiv

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Mal schaun =)

$\begin{eqnarray*} \sum_{i} (x_{ib}) +E_a=0 \end{eqnarray*}$

Ist das $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ da richtig? Oder heißt das $\begin{eqnarray*} E_{ab} \end{eqnarray*}$ ?

Edit:

Und was ist die Zusatzbedingung für die andere Summe?

Zitat:

Es gibt noch Zusatzbedingugen für beide in der Gleichung vorkommenden Summen

10.09.2006, 20:13

Iri

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Mir geht einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{(A+B+G)^2-4AB}=A^2+B^2+C^2-2AB+2AC+2BC \end{eqnarray*}$ nicht aus dem Kopf... wenn man das ebenfalls zu einem einfachen Quadrat umformen könnte, hätte man ebenfalls einen einfachen Ausdruck ohne Wurzel gefunden. (Was für die Iterationen sicherlich mehr als nützlich wäre)

und ja, es heisst $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$

PS. habe dir die Herleitung der Formel einmal als PM geschickt.

Edit:
PPS.
Habe das ganze mal am realem Beispiel ausprobiert - es scheint, die Formel ist für den realen Einsatz ungeeignet, da manchmal G so groß wird, dass es die gesamte Gleichung dominiert (vorallem natürlich, wenn man es quadriert) die "-4AB" fallen dann als Rundungsfehler unter der Rechenpreäzision unter den Tisch und der Iterationsschritt rechnet effektiv(A+B+C)-(A+B+C)=0.
Dafür sehe ich auch keine einfache Lösung, ich könnte bloß mit der quadratischen Gleichung direkt arbeiten.

Interessanterweise scheint jedesmal die Subtraktion die "gewünschte" Lösung zwischen 0 und 1 zu liefern - ist aber vielleicht nicht so überraschend, da A, B und G alle größer 0 (und B und G auch möglicherweise größer 1). Schlimmer ist , dass tatsächlich auch mal wieder "illegale" Lösungen im negativem Raum erhalten werden.

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