Diagonalisierbarkeit

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Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit
Hallöle!

Hier mal wieder ne Aufgabe und meine Gedanken dazu:

Für welche ist die Matrix diagonalisierbar?

Ich hab also das char. Polynom und weiß nun das
x1=3
x2=2
x3=

ich würde nun behaupten, dass wenn dann ist die Matrix diagonalisierbar!

Aber warum ist dann explizit nach und gefragt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierbarkeit
Zitat:
Original von Hibi83
Ich hab also das char. Polynom und weiß nun das
x1=3
x2=2
x3=

Es ist x1 = -3, nicht x1=3. smile

Die Fälle bzw. sind natürlich auch noch zu untersuchen. Augenzwinkern
 
 
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Da fällt mir noch folgendes ein:

Wenn ich nun annehme , dann würde ich doch herausbekommen, dass die alg. VFH für gleich zwei ist, jedoch die geometrische VFH gleich drei oder?

Und damit wäre sie für nicht diagonalisierbar, oder?
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso schaust du dir das charakteristische Polynom an?

Weil:


Jetzt hast du doch ein schönes Produkt (ich setze mal voraus, dass das richtig berechnet wurde Augenzwinkern ). Das ist immer Null, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Und jede Nullstelle ist ein Eigenwert (weil es das charakteristische Polynom ist). Keiner darf 0 sein, sonst ist deine Matrix nicht regulär.

Also welche Voraussetzungen stellst du an ?

edit: Na super...

Dann zieh ich mich hier mal zurück Augenzwinkern
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

ops das mit dem falschen Eigenwert ist natürlich peinlich!
Danke schön ich rechne dann nochmal!
Bis dann
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin jetzt nochmal bei :

dann wäre die algebr. VFH gleich zwei.

Wenn dann auch noch gilt , dann wäre doch auch die geometr. VFH gleich zwei, sprich die Matrix diagonalisierbar.

Oder?
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun noch zu :

Kann es sein, dass die Matrix für diagonalisierbar ist, weil dann die VFH übereinstimmen?
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Na weil dann der dum Eigenwert gehörende Eigenraum die dim zwei hat.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hibi83
Wenn dann auch noch gilt , dann wäre doch auch die geometr. VFH gleich zwei, sprich die Matrix diagonalisierbar.

Und was ist mit alpha = 0 ?

Zitat:
Original von Hibi83
Und nun noch zu :

Kann es sein, dass die Matrix für diagonalisierbar ist, weil dann die VFH übereinstimmen?

Welche Eigenvektoren bekommst du da?
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für bekomm ich ja folgendes Gleichungssystem:

;
;


Da hab ich als Lösungsmenge:



Also ist die geometrische VFH gleich eins.
Da aber die algebraische VFH gleich zwei ist, ist die Matrix also nicht diagonalisierbar (egal für welches alpha)?????

Ich glaub ich bin jetzt echt verwirrt!!!
verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hibi83


Wirklich?
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry nein:
10x=0
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für bekomm ich ja folgendes Gleichungssystem:

;
;


Da hab ich als Lösung:
:


:


Das heisst im ersten Fall, wäre die MAtrix nicht diagonalisierbar. Im zweiten schon.

Oder?????? Hilfe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Wie man an der Matrix leicht sieht, ist sie für alpha = 0 immer diagonalisierbar. Was kannst du denn aufgrund des Ranges über die Dimension des Eigenraums sagen?
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

na dim=n-rang
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und welche Dimension hat nun der Eigenraum im Fall alpha=0 ?
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

na er hat die dimension 2.

ich hab aber in meinen Aufzeichnunge stehen: diagonalisierbar <--> char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren und rang V(x,A)=ord(char.Poly)

da brauch ich gar keine dimension!

Ist meine aufzeichnung dann falsch??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mirs nochmal durch den Kopf gehen lassen bzw. nochmal gerechnet:

Also wenn dann komm ich auf folgendes Gleichungssystem mit Lösung:




Da kommt raus: für -->
und weil das den Rang 2 hat stimmen die VFH überein und die Matrix ist diagonalisierbar.
Für -->
und damit stimmen die VFH nicht überein und die Matrix ist nicht diagonalisierbar
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn --> egal wie groß ist, das bedeutet dass sie diagonalisierbar ist.

Hoffentlich hab ichs nun endlich richtig.
(Übrigens hatte ich nen Rechenfehler bei mir war -3-(-3)=-6) Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Für beta = -3 ist (0, 1, 1) kein Eigenvektor, wie man auch leicht nachrechnet. Augenzwinkern
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipfehler
ich meinte (0,1,0)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Das wäre dann gelöst.
Hibi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Das war eine schwere Geburt!

Danke für dein durchalten mit mir!! Freude
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