Auflösbare Gruppe

12.02.2009, 11:28	kern	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösbare Gruppe Hi, ich lese gerade folgenden Satz: "Eine endliche Gruppe G ist genau dann auflösbar, wenn alle Kompositionsfaktoren zylisch sind." Dann steht noch in Klammern dahinter: "Und von Primzahlordnung (automatisch erfüllt)". Warum ist die Primzahlordnung denn automatisch erfüllt? Ich kenne die Definitionen von auflösbar mit (i) Kommutatorgruppen, sodass für endliches n die n-te Kommutatorgruppe die triviale Gruppe ist und (ii) der Subnormalreihe mit abelschen Faktorgruppen. Wenn man mit (ii) ansetzt, kann man aus der Subnormalreihe durch einfügen weiterer Gruppen eine Kompositionsreihe machen (weil G endlich ist). Dann sind die Kompositionsfaktoren einfach. Nur warum sind sie zyklisch, und vor allem von Primzahlordnung?
12.02.2009, 12:52	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eine Kompositionsreihe ist ja eine Normalreihe, die keine echte Verfeinerung mehr besitzt. Daraus folgt unweigerlich, dass nur prime Quotienten vorliegen. Denn angenommen nicht, dann hat (laut zB dem 1. Sylowsatz) ein Quotient eine echte nicht-triviale Untergruppe. Und somit ließe sich die Reihe noch echt verfeinern, was aber ein Widerspruch ist.
12.02.2009, 15:41	kern	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich stehe auf der Leitung. Mir ist nur noch eingefallen, dass eine einfache, abelsche Gruppe schon von Primzahlordnung ist, was mein Problem auch lösen würde. Wahrscheinlich ist das jetzt lächerlich, aber mal angenommen, es wäre $\begin{eqnarray} \|G_i/G_{i+1}\|=p^2 \end{eqnarray}$ . Dann ist, da die Faktorgruppe abelsch ist, $\begin{eqnarray} N \unlhd G_i/G_{i+1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|N\|=p \end{eqnarray}$ . Und wie komme ich jetzt zu der Verfeinerung? Ich brauche ja einen Normalteiler von $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ .
12.02.2009, 16:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Normalteiler $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ einer Faktorgruppe $\begin{eqnarray} G_i/G_{i+1} \end{eqnarray}$ korrespondiert eineindeutig mit einem Normalteiler $\begin{eqnarray} U\trianglelefteq G_i \end{eqnarray}$ , für den $\begin{eqnarray} G_{i+1}\subseteq U \end{eqnarray}$ gilt. Ist $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein nichttrivialer Normalteiler, so gilt sogar $\begin{eqnarray} G_{i+1}\subsetneq U\subsetneq G_i \end{eqnarray}$ .

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