Integral mit Exponentialtermen

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12.02.2009, 11:42	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Exponentialtermen Servus Ich habe eine Frage zu folgendem Integral: $\begin{eqnarray} $\int\frac{e^(2x)}{e^x+1}dx$ \end{eqnarray}$ Ich hab $\begin{eqnarray} $t=e^x+1$ \end{eqnarray}$ gesetzt und komme dann auf eine Funktion $\begin{eqnarray} $\frac {t-1}{t}$ \end{eqnarray}$ . Wenn ich dies Integriere komme ich auf $\begin{eqnarray} $t-ln(t)$ \end{eqnarray}$ . Aber durch Rücksubstitution komme ich damit auf das falsche Integral...was habe ich falsch gemacht oder wie geht man evt allgemein an eine solche Art Integrale heran? Danke für die Hilfe!
12.02.2009, 11:49	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
die "2x" gehören mit in die Potenz von dem oberen "e"!
12.02.2009, 11:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles richtig gemacht.
12.02.2009, 11:59	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du deinen Reichenweg mal aufschreiben?
12.02.2009, 12:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Machen wir es bitte umgekehrt: Du schreibst deinen Rechenweg, beschreibst konkret dein Problem und wir sagen dir dann, wo ein eventueller Fehler steckt. mY+
12.02.2009, 17:01	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann fang ich mal an! $\begin{eqnarray} \int~\frac{(e^x)^2}{e^x+1}~dx \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} t=e^x+1 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx}=e^x \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} dx=\frac{dt}{e^x} \end{eqnarray}$ . Einsetzen: $\begin{eqnarray} \int\frac{(e^x)^2}{t}\frac{dt}{e^x} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} \int\frac{(e^x)^2}{te^x}dt \end{eqnarray}$ gekürzt zu: $\begin{eqnarray} \int\frac{e^x}{t}dt \end{eqnarray}$ Wenn ich nun Sei $\begin{eqnarray} t=e^x+1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auflöse folgt: $\begin{eqnarray} ln(t-1)=x \end{eqnarray}$ Das setze ich in $\begin{eqnarray} \int~\frac{e^x}{t}~dt \end{eqnarray}$ ein und es folgt: $\begin{eqnarray} \int~\frac{e^{ln(t-1)}}{t}~dt=\int~\frac{t-1}{t}~dt=\int~(1-\frac{1}{t})~dt \end{eqnarray}$ Damit lautet meine Stammfuntion: $\begin{eqnarray} F(t)=[t-ln(\|t\|)]^b_{a} \end{eqnarray}$ Zurücksubstituieren ergibt: $\begin{eqnarray} F(t)=[(e^x+1)-ln(\|e^x+1\|)]^b_{a} \end{eqnarray}$ Das ist laut CAS-fähigem Rechner aber nicht korrekt: $\begin{eqnarray} F(t)=[e^x-ln(\|e^x+1\|)]^b_{a} \end{eqnarray}$ Soll dort herauskommen...! Hoffe es ist nun der vollständige Rechenweg Edit (mY+): LaTex-Fehler korrigiert!
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12.02.2009, 17:08	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigt bitte die Fehler in den Latex-Zeilen...kann sie leider nicht mehr ändern Rechtsklick auf die fehlerhaften Zeilen und dan n Bildeigenschaften...da kann man noch entziffern, was gemeint ist
12.02.2009, 18:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles richtig und schön gerechnet. Auch das Ergebnis des CAS ist richtig. Wie erklärt sich nun dieser Unterschied? Ganz einfach: Der Unterschied besteht ja nur in der 1 und dies ist eine Konstante. Überlege einmal, was bei der Ableitung damit passiert? Worin unterscheidet sich die Ableitung deiner Stammfunktion von jener der im CAS angegebenen? Da wird's vermutlich bald bei dir KLICK machen. mY+
12.02.2009, 18:37	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung es ist $\begin{eqnarray} ({e^x})^2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{2x} \end{eqnarray}$ aber nicht $\begin{eqnarray} e^{x^2} \end{eqnarray}$
12.02.2009, 18:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, dann editiere ich deines noch dahingehend ..., da waren eh ein Haufen LaTex-Fehler drinnen, so hab' ich das übersehen. mY+
12.02.2009, 19:07	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo danke Hab erst vor 2 Tagen damit angefangen und bin noch nicht ganz so gut!
12.02.2009, 19:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Und? Hast du den scheinbaren Widerspruch aufklären können? Worin begründet sich dieser? mY+
13.02.2009, 10:01	koXx	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Ableiten fällt die Konstante weg, dass ist mir bewusst! Mich verwirrt es nur, dass dort tatsächlich der selbe Wert für das Integral von [0;1] ensteht. Kann ich demnach immer Konstanten weglassen, die beim Integrieren enstehen? Im Prinzip ja schon, denn ich rechne ja immer $\begin{eqnarray} F(b)+C-[F(a)+C]=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ Na gut, da hab ich ja mal wieder etwas dazugelernt und es beruhigt mich, dass ich keinerlei Fehler begangen habe... Danke für die Hilfe!
13.02.2009, 11:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es! Beim bestimmten Integral wird keine Konstante geschrieben, denn wie du richtig bemerkt hast, reduziert sie sich infolge der Subtrakion zu Null. mY+

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