Aufgabe Zahlentheorie

12.02.2009, 17:32	Huggybeer	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Zahlentheorie a) Gegeben sei das folgende System linearer Kongruenzen: $\begin{eqnarray} 6x \equiv 26 mod 40 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 145x \equiv 45 mod 150 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 6x \equiv -9 mod 225 \end{eqnarray}$ Man begründe, ohne die Kongruenzen zu lösen, dass jede einzelne Kongruenz lösbar ist. Man überführe das System in ein äquivalentes System des Typs: $\begin{eqnarray} x \equiv c_1 mod n_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \equiv c_2 mod n_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv c_3 mod n_3 \end{eqnarray}$ Bis dahin is alles kein Problem. Aber : MAN BEGRÜNDE OHNE DAS ÄQUIVALENTE SYSTEM ZU LÖSEN; DASS ES LÖBAR IS. glaub ich hab mal irgendwo nen satz gelesen der so aussieht, bin mir aber nich sicher (in meinem skript steht sowas irgendwie nich, da muss ich wohl in der vorlesung geschlafen haben oder so): $\begin{eqnarray} x \equiv c_1 (m_1) \end{eqnarray}$ . . lösbar <=> $\begin{eqnarray} ggt(m_i,...,m_j) teilt ggt(c_i,...,cj) \end{eqnarray}$ . für alle 1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ i< j $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ k . $\begin{eqnarray} x \equiv c_k (m_k) \end{eqnarray}$ stimmt das?????
12.02.2009, 18:04	Huggybeer	Auf diesen Beitrag antworten »
hab grad gemerkt, dass das gar nich stimmen kann, weil mein überführtes system so aussieht: $\begin{eqnarray} x \equiv 11(20) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv -9(30) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 36(75) \end{eqnarray}$ also, wenn jemand zufällig den satz kennt wär ich dankbar für nen kurzen post.
13.02.2009, 14:48	Huggybeer	Auf diesen Beitrag antworten »
lösbar <=> $\begin{eqnarray} ggt(m_i,...,m_j) teilt (c_i - c_j) \end{eqnarray}$ stimmt das???
13.02.2009, 16:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es stimmt, wenn du die hier unsinnigen "Pünktchen" weglässt: Einfach $\begin{eqnarray} \operatorname{ggT}(m_i,m_j) \end{eqnarray}$ teilt $\begin{eqnarray} (c_i-c_j) \end{eqnarray}$ , und das für alle in Frage kommenden Indizes $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ (für i=j gilt es ja sowieso).
13.02.2009, 20:04	Huggybeer	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, danke schön

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