arctan (x/y) = -arctan(y/x) ?

12.02.2009, 17:41	The_Unknown	Auf diesen Beitrag antworten »
arctan (x/y) = -arctan(y/x) ? Hallo, ich habe von einem bekannten gehört, dass obenstehende Gleichung gilt. Ist dem so ? Ciao The_Unknown
12.02.2009, 17:51	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \arctan\left(\frac{x}{y}\right)=-\arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \frac{x}{y}=-\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ Einfach auf beide Seiten den Tangens anwenden. Umkehrfunktion und Funktion heben sich gegenseitig auf....
12.02.2009, 17:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} \arctan \left(x \right) = - \arctan \left(\frac{1}{x}\right) + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ für positive x
12.02.2009, 18:12	The_Unknown	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhm, aber in der Aufgabe war garnicht ersichtlich, dass diese Eigenschaft gilt (x/y = -y/x). Man sollte allgemein rechnen (mit Variablen). Kann man ausgehend von diesem Sachverhalt eine solche Umformung machen ?
12.02.2009, 18:16	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet deine Aufgabe denn?
12.02.2009, 18:18	The_Unknown	Auf diesen Beitrag antworten »
Uff, ich glaube, das wäre zuviel. Aber ich habe den Fehler schon gefunden. Es gilt immer: arctan (x/y) = -arctan (y/x) + K (wobei K eine Konstante). So müsste es stimmen.
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12.02.2009, 18:25	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Anmerkung noch. Die Arkustangens funktion ist ungerade, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} \arctan(-x)=-\arctan(x) \end{eqnarray}$ Deine Version mit der Konstante ist korrekt. Folgt direkt aus $\begin{eqnarray} \frac{x}{y}=-\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow x^2=-y^2 \end{eqnarray}$ .
12.02.2009, 19:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumindest für positive $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist der Zusammenhang trivial. Das geht mit Schulmathematik. Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , die den Winkeln $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ im Bogenmaß gegenüberliegen. Dann gilt $\begin{eqnarray} s + t = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ (Winkelsumme im Dreieck) und weiter: $\begin{eqnarray} \tan s = \frac{x}{1} \, , \ \ \tan t = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Auflösen dieser Gleichungen nach $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und Einsetzen liefert: $\begin{eqnarray} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \, , \ \ x>0 \end{eqnarray}$ Und ein Vorzeichenwechsel im Argument des Arcustangens führt wegen der Punktsymmetrie der Arcustangensfunktion zu $\begin{eqnarray} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = - \frac{\pi}{2} \, , \ \ x<0 \end{eqnarray}$

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