Vermischte Aufgaben zu Vektoren

12.02.2009, 21:21	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermischte Aufgaben zu Vektoren Hallo :-) Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe. Diese lautet: Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(3; ,2; 5), B(2; 7; 1), C(-3; 1; -4). a) Bestimme die Seitenvektoren: $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{CA} \end{eqnarray}$ \vec{w} = $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ . b) Bestimme die Ortsvektoren der Seitenmittelpunkte Ma, Mb, Mc. c) Bestimme die Vektoren, welche die Seitenhalbierenden beschreiben: $\begin{eqnarray} \vec{AMa} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{BMb} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{CMc} \end{eqnarray}$ . d) Die Seitenhalbierenden schneiden einander im Verhältnis 2:1. Bestimme den Ortsvektor dieses Punktes S über jede der drei Seitenhalbierenden. e) Bestimme die Entfernung der Punkte A, B, C vom Ursprung. f) Bestimme die Längen der Seitenhalbierenden. g) Zeige: $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ = 2* $\begin{eqnarray} \vec{MbMa} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ = 2* $\begin{eqnarray} \vec{McMb} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{CA} \end{eqnarray}$ = 2* $\begin{eqnarray} \vec{MaMc} \end{eqnarray}$ . Was bedeutet dies für das Dreieck ABC im Vergleich zum Dreieck Ma Mb Mc? Mit der ersten Aufgabe habe ich schon angefangen. Da habe ich folgendes herausbekommen: $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v} = \vec{CA} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{w}= \vec{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So das war's leider. Ich weiß nicht, wie ich die anderen Aufgaben bearbeiten soll. Könnt ihr mir bitte helfen? Wäre echt lieb! Liebe Grüße OsaAldona
13.02.2009, 09:29	David_pb	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist aber falsch: $\begin{eqnarray} \overline{BC} = C-B = \begin{pmatrix} -3 - 2 \\ 1 - 7 \\ -4 - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ usw... Zu b: Den Mittelpunkt bekommst du indem du den Seitenvektor mit 0.5 mulziplizierst (oder durch 2 teilst, ist ja das Selbe). Für den Ortsvektor musst du diesen Vektor einfach zum entsprechenden Punkt (A, B oder C) addieren. Also z.B. Für Ma: $\begin{eqnarray} \vec{Ma}=\overline{0A}+\frac{\vec{w}}{2} \end{eqnarray}$
14.02.2009, 15:16	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.... Aufgabe b) verstehe ich leider immer noch nicht so richtig... Muss ich z.B. für $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ so rechnen: Die Lösung von $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ + die Lösung von $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ und dann durch 2 dividieren?
14.02.2009, 22:13	David_pb	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du teilst AB durch zwei und addierst den resultierenden Vektor zum (Null-)Vektor 0A (also prinzipiell einfach zum Punkt A).
15.02.2009, 16:03	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso... Dann müsste ich für den Seitenmittelpunkt Ma die Vektoren BC berechnen, bei Mb die Vektoren AC und bei Mc die Vektoren AB?
15.02.2009, 17:22	David_pb	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt drauf an was du mit Ma, Mb und Mc beschreiben willst. Wenn Ma der Seitenmittelpunkt zwischen A und B ist dann brauchst du dafür die Strecke zwischen A und B (also der Vektor w aus Teil a). Genauso für Mb, wenn Mb der Seitenmittelpunkt zwischen B und C sein soll, dann brauchst du hier den Vektor u (Strecke zwischen BC)... Beispiel für Ma: $\begin{eqnarray} \vec{Ma} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\cdot 0.5 \\ 5\cdot 0.5 \\ -4\cdot 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.5 \\ 4.5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für später: Die Länge (oder Betrag) eines Vektors bekommst du über: $\begin{eqnarray} \|\vec{x}\|=\sqrt{x_0^2+x_1^2+...+x_n^2} \end{eqnarray}$
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15.02.2009, 20:40	OsaAldona	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso...Jetzt habe ich es verstanden dankeschön!

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