Invertierbarkeit einer Matrix / Determinante 5x5

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13.02.2009, 09:44	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit einer Matrix / Determinante 5x5 Hallihallöle ein neuer Tag eine neue Aufgabe! ich habe folgende Matrix A $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\ 2 & -2 & 2 & -2 & 2 \\ 7 & 7 & 7 & 7 & 7 \\ 2 & 1 & 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich soll die Menge aller $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ bestimmen, für die die Matrix invertierbar ist. Dabei soll alpha=1 sein. Ich weiß, dass ich also schauen muss, wo die det=0 ist. Und da liegt mein Problem. Ich will die Determinante berechnen und zwar mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz. Dafür hab ich die A erstmal so umgeformt, dass in der ersten Spalte bis auf eine 1 in der ersten Zeile nur Nullen stehen. Es wird aber dann doch sehr unhandlich! Vielleicht sieht jemand noch nen schöneren / handlicheren Ansatz. Vielen Dank schon mal im voraus
13.02.2009, 10:03	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreib mal meine Gedanken hierher: 7II-2III II-IV II-2V da komm ich auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\ 2 & -2 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & -28 & 0 & -28 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -6 & -6 & -18 & -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
13.02.2009, 10:05	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wie wäre es denn, wenn du den ganzen unteren rechten Block ebenfalls noch umformen würdest? Würde die Rechnung doch erheblich vereinfachen
13.02.2009, 10:05	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hab ich 2I-II: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\ 0 & 2x-2 & 2x^{2}-2 & 2x^{3}+2 & 2x^{4}-2 \\ 0 & -28 & 0 & -28 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -6 & -6 & -18 & -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
13.02.2009, 10:11	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit habsch: det A= det $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x-2 & 2x^{2}-2 & 2x^{3}+2 & 2x^{4}-2 \\ -28 & 0 & -28 & 0 \\ -3 & 1 & -3 & 1 \\ -6 & -6 & -18 & -30 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.02.2009, 10:13	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde jetzt nach der zweiten Zeile entwickeln! Kann mal jemand schauen, ob das überhaupt noch Sinn macht und ich mich nicht verrechnet hab!?!? Merci
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13.02.2009, 10:24	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist DAS für dich unten rechts? Der Sinn des ganzen ist es doch, die Matrix auf eine einfachere Form zu bringen. Du siehst doch, dass du nicht wirklich was vereinfacht, sondern eher verkompliziert hast
13.02.2009, 10:27	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich hätte dann: $\begin{eqnarray} det A = 672(-x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x+49) \end{eqnarray}$
13.02.2009, 10:29	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen unteren rechten Block denn?!
13.02.2009, 14:46	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
So nun find ich keine Nst, von $\begin{eqnarray} P(x) = -x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x + 4 \end{eqnarray}$
13.02.2009, 23:37	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine ersten Schritte sehen doch ganz gut aus. Du bringt die erste Spalte bis auf den ersten Eintrag auf 0. Dann entwickelst du nach der 1. Spalte. In diesem Fall hast du dann 1* det(A unten rechts) - 0 ... +0.... Wegen der Nullen vereinfacht sich das Teil auf die Determinante unten rechts, also die Streichungsmatrix, wenn die 1. Zeile und 1. Spalte gestrichen werden. Und das kannst du ja wiederholen, bis du zur Determinante kommst. alternativ: Du bringst das Teil auf obere Dreiecksform, schreibst dir am besten jeden Umformungsschritt auf, denn dann kannste einfach die Diagonalelemente (nur die eine Hauptdiagonale!) multiplizieren und dann hast du die Determinante nach einigen "Korrekturen". Du musst nämlich Folgendes beachten: i)Wenn ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addiert wird, ändert sich die Determinante nicht, z.B. die neue 3. Zeile ist III-4*II. ii)Wenn eine Zeile mit einer Zahl a multipliziert wird, wird die Determinante a-mal so groß. Du willst aber auf die alte, ursprüngliche kommen, d.h. wenn du z.B. während deiner Umformung eine Zeile durch 2 geteilt hast, musst du das Produkt der Diagonalelemente mal 2 nehmen, um auf den ursprünglichen Wert zu kommen und es so zu "korrigieren". iii)Wenn du zwei Zeilen vertauschst, ändert die Determinante ihr Vorzeichen. Es gibt also 2 Sachen zu beachten, wo eine "Korrektur" notwendig ist.

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