Tangente an Kreis

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pkautz Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente an Kreis
Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem: ich habe einen Punkt und einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius gegeben. liegt nicht auf dem Kreis, sondern außerhalb. Nun möchte ich den Anstieg der Tangenten, die durch verlaufen, berechnen. Soweit so gut. Habe mir die Geradengleichung in Punkt-Steigungs-Form aufgestellt und in die Kreisgleichung eingesetzt. Was dann zu: führt. Die Gleichung habe ich dann nach umgestellt.



Da ich die Tangenten suche, muss der Wurzelausdruck null sein. Also habe ich die Wurzel null gesetzt und das Ganze nach umgestellt.



Wenn ich das Ganze nun für ein Beispiel ausprobiere. Also die Anstiege berechne und in die Geradengleichung einsetze und dann mit der Kreisgleichung gleichsetze, kommen allerdings für jede "Tangente" zwei Punkte heraus. Irgendwas ist also schief gegangen, ich finde aber den Fehler nicht. Ich hoffe von Euch kann sich irgendwer des Problems annehmen und mal draufschauen. Bzw. vielleicht hat jemand eine allgemeingültige Formel für die Berechnung der Anstiege bei oben beschriebenen Anwendungsfall. Bis hierhin schon einmal schönen Dank.

Gruß
Patrick

//edited by MrPSI: habe es mir erlaubt, die lange Gleichung umzubrechen. Matrix- und Tabellendarstellungsversuche sind misslungen, weil hässlich. Deshalb gibts lediglich nen \\.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Von einem Punkt P ausserhalb des Kreises gibt es 2 Tangenten an den Kreis, deshalb nützt es nichts, wenn man den Wurzelausdruck = 0 setzt.

Wenn du hier klickst dann kommst du auf eine Site mit einer recht nützlichen Formel, der sogenannten "Berührbedingung".

Wie du dort sehen wirst, gibt es zwei Unbekannte: k(=Steigung) und d. Aber da du eine 2. Bedingung hast, kannst du dieses entstandene Gleichungssystem lösen.
pkautz Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry habe es noch nicht geschnallt. Was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe, entspricht doch folgendem

Zitat:
Die Berührbedingung kann aber auch durch Umformen einer Kreis- und Geradengleichung hergeleitet werden. Denn für eine Tangente muß, aufgrund der Fallunterscheidungen, die bei der Lage einer Geraden gegenüber eines Kreises getroffen wurden, gelten, daß die Diskriminante gleich null sein muß. (siehe Link von MrPSI, ganz zum Schluß)

Was mache ich also falsch bzw. wo hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen???

Gruß
Patrick
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das geht so überhaupt nicht.

Du versuchst nämlich, die Gerade mit dem Kreis so zu schneiden, dass es eine Tangente gibt.
Das Problem dabei ist: es gibt zwei Tangenten an einen Kreis von einem Punkt P, sodass es dir nichts bringt, wenn du versuchst die Determinate =0 zu setzen, weil es ja zwei Lösungen geben muss.

Und die Aussage, die du herauskopiert hast, ist falsch. Zumindest so, wie du sie interpretiert hast.
Aber ich weiss auch nicht, wie sie richtig zu interpretieren ist.

Benutze also einfach die Berührbedingung und die Geradengleichung.

Ausserdem passt das Thema eher in den Geometrie-Bereich.

*Verschoben*
pkautz Auf diesen Beitrag antworten »

Für was steht das k (Kreisgleichung)? d = m!?

Berührbedingung (Quelle):



Gruß
Patrick
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

k ist die Steigung und d ist der y-Wert, wenn x=0.
Die Gerade sieht dann so aus:
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
k ist die Steigung und d ist der y-Wert, wenn x=0.
Die Gerade sieht dann so aus:


hallo mrpsi, hallo kautz

austrian k corresponds germanian ( Big Laugh ) m
austrian d corresponds germanian n

werner
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

anregung:
wenn du die gerade in der österreichform y = kx + d annimmst, und den mittelpunkt mit den koordinaten M(m/n),dann bekommst du mit hilfe der HNF:
(km - n + d)² = r²(1 + k²)
und die 2. gleichung ist:
woraus du k und d berechnen kannst.
werner
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
Nein, das geht so überhaupt nicht.

Du versuchst nämlich, die Gerade mit dem Kreis so zu schneiden, dass es eine Tangente gibt.
Das Problem dabei ist: es gibt zwei Tangenten an einen Kreis von einem Punkt P, sodass es dir nichts bringt, wenn du versuchst die Determinate =0 zu setzen, weil es ja zwei Lösungen geben muss.
....


Hier irrst du, MrPSI!

Lass mal die zweite Tangente aussen vor und betrachte nur den Fall, dass EINE Gerade den Kreis - statt in ZWEI Punkten zu schneiden, ihn in EINEM Punkt berührt!

Selbstverständlich wird für den gegenständlichen Fall, dass EINE Tangente den Kreis in EINEM Punkt berührt, die Diskriminante der entstehenden quadr. Gleichung Null gesetzt! Hierdurch entsteht ja erst die Berührbedingung.

mY+
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, jo, jetzt wird mir das Vorgehen klar. Wenn nämlich die Steigung gegeben ist, es also nur eine Gerade durch P gibt, so kann es laut der Gleichung von pkautz auch zu 2 Lösungen kommen, was auch bedeuten kann, dass die Gerade eine Sekante ist.
Hab ich wohl irgendwie diesen Gedanken übersprungen. Aber jetzt isses klar...danke.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
anregung:
wenn du die gerade in der österreichform y = kx + d annimmst, und den mittelpunkt mit den koordinaten M(m/n),dann bekommst du mit hilfe der HNF:
(km - n + d)² = r²(1 + k²)
und die 2. gleichung ist:
woraus du k und d berechnen kannst.
werner

die richtige lösung heißt:



was, soweit ich gerade sehe, mit deiner lösung übereinstimmt.
es kommen da nicht 2 punkte heraus. sondern 2 steigungen, da du ja auch 2 tangenten an den kreis hast.
zumindest bei meiner probefahrt, kommen die richtigen werte für k heraus.
werner
pkautz Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerrin: Schönen Dank. Ihre Anregung war echt hilfreich und als Extra dann noch die umgestellten Formeln, echt prima.

Hatte die Formel ja ansich schon, aber war einfach zu blöd diese komplett richtig zu programmieren (Tippfehler!!!). Naja jedenfalls klappt es jetzt.

Nochmals schönen Dank.

Gruß
Patrick

PS: Die Herleitung der Berührbedingung (siehe hier) habe ich allerdings noch nicht ganz verstanden. Kann mir das bei Gelegenheit noch einmal wer für Doofies erklären?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@pkautz,
(wir sind hier alle per du unglücklich )
dieser link gefällt mir auch nicht besonders.
(vor allem sehe ich keinen nutzen in dem umweg über die vektorrechnung.)
ich nehme an, du/ihr seid mit der HNF (hesseschen normalform der geraden in R2) vertraut. dann geht es "nichtvektoriell" so:

umstellen und normieren

und den abstand eines punktes von der geraden bekommt man nun durch einsetzen der koordinaten des punktes, hier also M(m/n):

und das quadriert liefert die berührbedingung:

alternativ kannst du eben auch (einfach verwirrt ) die gerade g mit dem kreis schneiden und die diskriminante = 0 setzen, aber da scheinen mir halt die fehlermöglichkeiten größer Big Laugh

zu dem link, vielleicht hilft das ein bißchen:
gerade g in parameterform, mit x = t

und zur bestimmung des abstandes des mittelpunktes von der geraden d = r verwendet man nun den ("achsenabschnitts")punkt P(0/d), der ja bekannt ist.
dazu ein bilderl
pkautz Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist der Groschen gefallen. Schönen Dank. Freude

Gruß
Patrick
pkautz Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, doch noch eine Frage. Ich stelle mich aber auch mal wieder blöd an. Hammer

Der Term für die Normierung ergibt sich aus der Geradengleichung oder nicht!?
Also man könnte auch schreiben. k wegen k*x und -1 wegen -y. oder bin ich da jetzt wieder mal falsch?

Gruß
Patrick
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die gerade ax + by + c = 0 hast, ergibt sich die normierung (aus den komponenten des richtungsvektors, der faktoren von x und y) zu und weil hier die beiden komponenten des NORMALENvektors k und -1 lauten, hast du mit (-1) völlig recht, wobei wegen des quadrates natürlich die normierunsfaktoren von vektor und normalenvektor den gleichen wert ergeben.
werner
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