Bestimmung des Minimalpolynoms

13.02.2009, 16:02

congo.hoango

Bestimmung des Minimalpolynoms

Ich habe irgendwie nichts in meinem Script dazu gefunden, wie man das Minimalpolynom einer Matrix bestimmen kann.
Wenn ich das recht verstande habe, dann bildet das Minimalpolynom die Matrix auf die Nullmatrix ab, oder?

Mal als Beispiel hier ne Matrix, bei der ich zeigen soll, dass das charakteristische Polynom = Minimalpolynom ist. Charakteristisches Polynom ist ja kein Problem, aber das Minimalpolynom - keine Ahnung....

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & -1 \\ 5 & -4 & -4 & -4\\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ -7 & 5 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.02.2009, 18:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minimalpolynom ist stets ein Teiler des charakteristischen Polynoms, muß aber dieselben Nullstellen wie dieses besitzen. Beim Minimalpolynom können die Nullstellen also höchstens von geringerer Vielfachheit als beim charakteristischen Polynom sein. Und nun muß sich beim Einsetzen der Matrix in das Minimalpolynom die Nullmatrix ergeben, wobei der Grad möglichst klein sein soll.

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = x^4 + x^3 + x^2 - 4x - 4 = \left( x^2 + gx + 2g \right) \left( x^2 - (g-1) x - 2(g-1) \right) \ \ \text{mit} \ \ g = \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} + 1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist die Zahl vom Goldenen Schnitt: $\begin{eqnarray*} g^2 = g+1 \end{eqnarray*}$

Wie viele (komplexe) Nullstellen besitzt $\begin{eqnarray*} \varphi(x) \end{eqnarray*}$ ?
Statt der obigen Zerlegung kannst du auch Methoden der Analysis verwenden.

13.02.2009, 20:52

congo.hoango

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist
$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = x^4 + x^3 + x^2 - 4x - 4 = \left( x^2 + gx + 2g \right) \left( x^2 - (g-1) x - 2(g-1) \right) \ \ \text{mit} \ \ g = \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} + 1 \right) \end{eqnarray*}$
jetz das Minimalpolynom von meiner Matrix?

Habe nicht wirklich verstanden, wie der Weg ist um darauf zu kommen...und das mit dem "goldenen Schnitt" habe ich auch noch nie gesehen.

Zitat:

Original von Leopold
Das Minimalpolynom ist stets ein Teiler des charakteristischen Polynoms

Heißt das, dass ich um das Minimalpolynom zu bestimmen, immer das charakteristische Polynom zuerst ausrechnen muss?

14.02.2009, 09:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Goldenen Schnitt hat dich verwirrt. Vergiß es, es hat nichts mit dem eigentlichen Problem zu tun. Bei der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms bin ich durch Zufall auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gestoßen. Das ist einfach nur die angegebene reelle Zahl mit dem Dezimalbruch $\begin{eqnarray*} g = 1{,}61803 \ldots \end{eqnarray*}$

Vielleicht zwei Beispiele zum Minimalpolynom.

Beispiel 1

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -3 & 3 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \varphi_A(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2 = - \left( x - 1 \right)^2 \left( x - 2 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_A \end{eqnarray*}$ hat die Nullstellen 1 (von der Ordnung 2) und 2 (von der Ordnung 1).

Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ muß nun ein Teiler von $\begin{eqnarray*} \varphi_A \end{eqnarray*}$ sein, aber auch dessen Nullstellen besitzen. Üblicherweise wird es auch noch normiert. Damit kommen nur die Polynome $\begin{eqnarray*} \left( x - 1 \right)^2 \left( x - 2 \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \end{eqnarray*}$ als Minimalpolynom in Frage. Den kleineren Grad (Minimalpolynom!) hat das zweite Polynom, wir versuchen es daher zunächst mit dem. Setzt man darin die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein, so erhält man jedoch nicht die Nullmatrix. Daher kann nur das erste Polynom das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein:

$\begin{eqnarray*} \mu_A (x) = - \varphi_A(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \end{eqnarray*}$

In diesem Beispiel sind also Minimalpolynom und charakteristisches Polynom vom Vorzeichen abgesehen gleich. (Es gibt Autoren, die auch das charakteristische Polynom normieren. Dann würden Minimalpolynom und charakteristisches Polynom in Gänze übereinstimmen. Das sind unbedeutende Definitionsfragen.)

Beispiel 2

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch hier gilt

$\begin{eqnarray*} \varphi_B(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2 = - \left( x - 1 \right)^2 \left( x - 2 \right) \end{eqnarray*}$

Dieses Mal erhält man aber bereits, wenn man $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \end{eqnarray*}$ einsetzt, die Nullmatrix. Daher gilt

$\begin{eqnarray*} \mu_B(x) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) = x^2 - 3x + 2 \end{eqnarray*}$

Zurück zu deiner Aufgabe. Man kann zeigen, daß das charakteristische Polynom deiner 4×4-Matrix vier verschiedene komplexe Nullstellen besitzt. Was folgt daraus über das Minimalpolynom?
Und um die Sache mit den vier verschiedenen Nullstellen zu zeigen, ist die von mir angegebene Faktorisierung eine Möglichkeit. Ohne Rechenhilfsmittel (CAS, Taschenrechner) kommt man aber darauf nicht so ohne weiteres. Laß dir etwas anderes einfallen. Es stehen dir sämtliche Werkzeuge der Algebra und Analysis zur Verfügung.

14.02.2009, 15:39

congo.hoango

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, jetz hab ichs verstanden!

05.05.2010, 15:33

Esperanzia

Auf diesen Beitrag antworten »

gut erklärt ^^