Beschränktes Wachstum |
| 13.02.2009, 16:47 | SandraM1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beschränktes Wachstum In einer Badewanne mit 200 L Fassungsvermögen befinden sich 50 Liter Wasser mit der Temperatur 20 Grad. Lässt man heißes Wasser von 60 Grad dazufließen, so kann die Änderung der Temperatur des Wannenwassers durch f(x) = 2000 / (x+50)² , 0<=x<=150 beschrieben werden. Dabei gibt x die zugeflossenen Wassermeng in Liter und f(x) die Temperaturänderungsrate in Grad pro Liter an. a) Die Temperatur des Wassers in der Wanne kann durch einen Term T(x) beschrieben werden. Bestimme T(x). b) Angenommen, der Temperaturverlauf könne durch die Differentialgleichung des beschränkten Wachstums beschrieben werden. Welche Funktion g(x) würde diese Differentialgleichung erfülen, wenn g(0) = T(0) ist und g(50) = T(50) wäre? T(x) müsste ja irgendwie die Stammfunktion von f(x) sein, oder? Aber was ist g(x)? Ist der Temperaturverlauf was anderes als die Temperatur? Ist g(x) nicht dasselbe wie T(x)? Wie mache ich einen Ansatz für g(x)? Kann mir bitte, bitte jemand hiermit helfen? Danke vielmals LG Sandra |
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| 13.02.2009, 18:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bitte keine Hilferufe! Hilfe wird dir ohnehin zuteil. Beitrag wird überarbeitet! mY+ |
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| 13.02.2009, 22:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
a) Da f(x) die Änderungsrate in Grad/Liter angibt, ist T(x) tatsächlich eine Stammfunktion von f(x). Also solltest du f(x) integrieren und dabei nicht auf die Integrationskonstante C vergessen, denn diese wird in der Folge durch Einsetzen von T(50) = 20 festgelegt (50 Liter / 20°C) b) Für das beschränkte Wachstum, welches durch eine Funktion g(x) = T(x) beschrieben wird, gilt [x .. Wassermenge in Liter, g(x) .. Temperatur]: Der Temperaturzuwachs pro Wassermengeneinheit ist umso geringer, je mehr sich der momentane Bestand g(x) einer Grenze G nähert, je kleiner also die Differenz G – g(x), (das Sättigungsmanko) ist. Die Differentialgleichung beschreibt also, dass die Wachstumsgeschwindigkeit g'(x) zur Differenz G – g(x) proportional ist. Die Proportionalitätskonstante sei k. Es gilt dann (für k > 0) g'(x) = k(G – g(x)) Zur Funktion g(x) gelangen wir durch das Auflösen dieser Differentialgleichung: Trennung der Variablen, Integration, Einsetzen der Randbedingungen g(0) = 0, g(50) = 20, die aus dem Term T(x) gewonnen werden. In dieser Funktion gibt es 3 Parameter, nämlich G, a (ein Faktor) und k, welche aus den Angaben errechnet werden können. Dazu musst du noch überlegen, welche Größe für G einzusetzen ist. G ist sowohl der Grenzwert von T(x), als auch der Grenzwert von g(x) für [Hinweis: Der Grenzwert von T(x) ist 40, also ist G = 40]. Soweit sollte dir das schon zu vernünftigen Ansätzen weiterhelfen. Wie dies graphisch aussieht, sehen wir hier: Rot: T(x) *** Grün: g(x) mY+ |
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| 13.02.2009, 22:38 | SandraM1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Temperatur Vielen lieben Dank für die Antwort. Ich hab sie zwar noch nicht durchgeackert, aber ich habe jetzt schon bei a) ein problem. Ich hatte nämlich T(0) = 20 statt T(50) = 20 gerechnet, weil ja x die (neu?) zugeflossene Menge sein soll. Wenn also am Anfang 50 Liter drin sind, kann man das nicht auch so verstehen, dass dann zu Beginn meiner Betrachtung 0 Liter neu dazufliesen?? Und was mir auch noch überhaupt nicht klar ist, was ist g(x) anschaulich? Unter T(x) = Temperatur kann ich mir ja noch was vorstellen... was ist genau der Unterschied zwischen T und g? LG Sandra |
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| 15.02.2009, 00:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Einwand ist richtig und hat viel für sich. Es ist also sicher besser, diesen Weg weiterzuverfolgen. Mich hat nämlich auch von vornherein gestört, dass der Grenzwert nur 40°C war, obwohl theoretisch (wenn die Wanne riesig wäre) Unmengen von Wasser hinzufließen könnten und schließlich die Temperatur doch nahezu 60° sein müsste. Also ist es tatsächlich besser, die Funktionen nur in Abhängigkeit von der neu hinzugeflossenen Wassermenge zu erstellen. Dann gilt natürlich für x = 0 die Temperatur T(0) = 20. Dass schon vorher 50 Liter Wasser in der Wanne waren, geht dann in die weitere Rechnung nicht ein. Die Kurve T(x) ist gegenüber von vorhin um 20 nach oben verschoben (Grenzwert 60 statt 40), die Kurve g(x) muss auf Grund der geänderten Stützpunkte neu berechnet werden. Rot: T(x) *** Grün: g(x) Praktisch werden die Graphen nur bis x = 100 zu zeichnen sein, denn mehr als 100 Liter können in die bereits mit 50 Litern gefüllte Wanne ja nicht einfließen. Zum Unterschied zwischen T(x) und g(x): T(x) ist die Stammfunktion der in der Aufgabe gegebenen Temperaturänderungsfunktion. Das hast du vermutlich inzwischen schon verstanden. Da die Stammfunktion bis auf eine Konstante C (Integr. Konstante) bestimmt ist, musst du diese Konstante aus dem Stüzpunkt (0; 20) ermitteln: Nun berechne C so, dass T(0) = 20 ist. C ist dann hier gleichzeitig die Grenztemperatur, das siehst du ein, wenn du x gegen +Unendlich gehen lässt. g(x) bedeutet nun die Funktion des begrenzten Wachstums. Die vorhin berechnete Grenztemperatur legst du nun deiner begrenzten (beschränkten) Wachstumskurve als G zu Grunde. Die Gleichung des beschränkten Wachstums lautet G ist der eben besprochene Temperaturgrenzwert, a und k sind Konstanten. Um diese zu berechnen, benötigen wir zwei Gleichungen. Dazu ziehen wir die zwei Stützpunkte heran, die über T(x) angegeben sind: T(0) und T(50). Setze nun einmal 0 und einmal 50 in T(x) ein und du erhältst die zwei dazugehörigen Temperaturwerte. Diese dadurch festgelegten zwei Wertepaare werden nunmehr in g(x) eingesetzt und ermöglichen die Berechnung von a und k. Jetzt funkt's aber. [Kontr.: G = 60; a = 40; k = 0,013863] mY+ |
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