1/cos^2(x) integrieren

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pius90 Auf diesen Beitrag antworten »
1/cos^2(x) integrieren
ich möchte 1/cos^2(x) integrieren.
dann habe ich es zu tan^2(x)+1 umgeformt und versuche grad
tan^2(x) bzw sin^2/cos^2 zu integrieren...
komme aber nicht weiter
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Leite mal die Funktion ab [denke an den "trigonometrischen Pythagoras"].
 
 
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir auch bewusst, aber mir geht es nicht das zu beweisen sondern eher herzuleiten...
man müsste doch es auch ohne ableiten schaffen, oder??
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

es tut mir leid...liegt es vllt daran dass ich mich unklar ausgedrückt habe und mich deshalb nicht versteht...
soll ich meine farge versuchen ncohmal anders zu formulieren oder kann man es einfach nicht integrieren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Substituiere in x = arctan(u).
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

also wäre es dann tan^2(arctan(u))+1 ?? verwirrt
irgedwie komm ich nicht weiter :S weiß nicht was ich machen soll =(
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn tan(arctan(u)) ? Außerdem mußt du auch das dx gemäß der Substitutionsregel ersetzen.
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dx/du ??
die regeln fallen mir schwer, wiel ich leider zu der zeit gefehlt hatte als das besprochen wurde..
eigentlich hatte ich paar solcher aufgaben lösen können und dachte ich hätte es verstanden..aber komme bei dieser aufgabe einfach nicht zurecht :S
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pius90
das mit dx/du ??

Richtig. Was ist denn dx/du ?
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

ja also x=g(u) ; g'(u)=dx/du
wenn ich mich recht erinner..aber so ganz sagtes mir immer noch nicht wie ich weiter machen soll
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pius90
ja das ist mir auch bewusst, aber mir geht es nicht das zu beweisen sondern eher herzuleiten...
man müsste doch es auch ohne ableiten schaffen, oder??


Unbestimmtes Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens. Wenn dir das wirklich bewußt ist, bist du fertig. Aller sonstiger Kalkül ist hier überflüssig und für das Verständnis schädlich.
Du hast offenbar die Aufgabe bereits gelöst, willst es aber nicht glauben. Stattdessen suchst du nach der Zauberformel. Der Substitutionsvorschlag mit dem Arcustangens formalisiert nur, was man ohnehin schon weiß. Erst wird alles verkompliziert, vereinfacht sich auf wunderbare Weise - und wie durch Zauberhand ist man an derselben Stelle, an der man vorher schon war.

Stelle dir einen Erstkläßler vor, der die Frage beantworten soll: Was muß man zu 2 dazuzählen, um 5 zu bekommen? Er nimmt seine Hand, streckt zwei Finger heraus und nimmt nach und nach Finger dazu, bis er eine Handvoll hat. Drei, wird er als Antwort geben. Und damit hat er eine Subtraktionsaufgabe gelöst, denn die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Natürlich kann man das in der fünften Klasse auch so schreiben:



Hat man nun wirklich die Lösung "hergeleitet"? Man muß nämlich jetzt subtrahieren können, zum Beispiel durch Hinzufügen, wie man es in der ersten Klasse gelernt hat. Man ist also da, wo man schon vorher war ...
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe schon dass es eigentlich überflüssig ist, wie sie bereits gesagt haben ist ja "Integrieren die Umkehrung des Differenzierens" das weiß ich ja auch..
aber wir haben halt im kurs die aufgabe bekommen dieses mal nicht zu differenzieren( weil wir dies schon getan haben) sondern abzuleiten.
und hierbei fehlt mir halt der schritt wie man von tan^2(x) zu tan(x)-1 kommt nachdem man integriert hat.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pius90
ja also x=g(u) ; g'(u)=dx/du
wenn ich mich recht erinner..aber so ganz sagtes mir immer noch nicht wie ich weiter machen soll

Du mußt eben x = g(u) = arctan(u) nach u ableiten.

@Leopold: ich gebe dir ja Recht. Aber manchmal glaubt man einem Beweis nicht. Dann will man eben noch einen zweiten sehen. Augenzwinkern
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

arctan(u) nach u abgeitet ist ja
1/1+u^2
muss man das nun hoch zwei nehmen wegen tan^2(x)
rababa Auf diesen Beitrag antworten »

hier hatte das schon mal in nem forum gelesen:
nur versteh ich nicht den einen schritt wie man von
∫udv zu uv - ∫vdu in diesem beispiel kommt...

u = sinx; du = (cosx)dx
dv = (sinx/cos²x)dx; v = 1/cosx.

I = ∫dx + &#8747traurig sin²x/cos²x)dx
I = ∫dx + ∫sinx•(sinx/cos²x)dx
I = ∫dx + ∫udv
I = ∫dx + uv - ∫vdu
I = ∫dx + sinx•(1/cosx) - &#8747traurig 1/cosx)(cosx)dx
I = ∫dx + sinx/cosx - ∫dx
I = sinx/cosx + C
I = tanx + C


sry kann auch nicht so helfen
rababa Auf diesen Beitrag antworten »

sry wo ∫ das steht sollte eingenlich das integralzeichen stehen..hoffe ihr versteht es trotzdem
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
@Leopold: ich gebe dir ja Recht. Aber manchmal glaubt man einem Beweis nicht. Dann will man eben noch einen zweiten sehen. Augenzwinkern


Ein zweiter Beweis wäre ja nicht schlecht. Ist aber der scheinbar zweite Beweis nicht der erste, nur viel umständlicher aufgeschrieben? Man braucht ja bei der Substitution die Ableitung des Arcustangens - und die hat man doch ehemals (nur ist das wieder in Vergessenheit geraten) aus der Ableitung des Tangens gewonnen!
Man kann, Umkehrbarkeit vorausgesetzt, immer die Umkehrfunktion der Lösung substituieren. Nehmen wir einmal an, daß



gilt. Und jetzt substituieren wir schön formal



und bekommen



Da waren wir aber vorher schon.

Um es noch einmal klar für die vorliegende Aufgabe zu sagen: Wer hier substituiert, geht in Wirklichkeit davon aus, daß die Lösung der Aufgabe ist. Wenn er das aber schon weiß, warum substituiert er dann?
pius90 Auf diesen Beitrag antworten »

also ist das auf mein beispiel dann:
integral von tan^2(arctan(u))*(1/tan^2(arctan(u)))du=integral du=u ??
irgenwo habe ihc wohl einen fehler gemacht :S
rababa Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nicht richtig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pius90
integral von tan^2(arctan(u))*(1/tan^2(arctan(u)))du=integral du=u ??
irgenwo habe ihc wohl einen fehler gemacht :S

Du hast nicht nur einen, sondern 2 Fehler gemacht, die sich gegenseitig aufheben. Damit das Elend ein Ende hat:

Mit x = arctan(u) ist

Ins Integral eingesetzt ergibt das:

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