Rang bestimmen

14.02.2009, 15:55

Mathe-Gast

Rang bestimmen

Man bestimme den Rang der folgenden Matrix:

\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}

So nachdem ich von der zweiten und dritten jeweils die erste subtrahiere erhalte ich:

\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}

Und genau an dem Punkt bin ich aufgeschmissen, bei einer 3x3 kriege ich die Stufenform hin und kann dann ablesen wieviele unabhängige Zeilen vorhanden sind (Rang bestimmen). Aber bei der gegebenen 3x6 komm ich nicht weiter.

Freue mich über jegliche Hilfe bereits im voraus.

14.02.2009, 15:57

Mathe-Gast

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RE: Rang bestimmen
Sorry, hier nochmal die zwei mit richtigem Syntax.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.02.2009, 16:07

Zellerli

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Es gilt: Spaltenrang = Zeilenrang.

Wenn du z.B. 3 linear unabhängige Spaltenvektoren findest, kannst du durch sie die anderen 3 ausdrücken, weshalb auch für die $\begin{eqnarray*} m \times n \end{eqnarray*}$ Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} rg (A) \leq \min\{m,n\} \end{eqnarray*}$ .

Andersrum hast du bei 3 linear unabhängigen Spaltenvektoren bereits mindestens Rang 3.

14.02.2009, 16:14

Mathe-Gast

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Daraus schließe ich also dass ich die erste und vierte Spalte einfach so in der Ausgangsmatrix rausschmeißen kann ??

15.02.2009, 08:39

eierkopf1

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Wie meinst du "rausschmeißen"?

Überführe die Matrix in Zeilenstufenform (oder Spaltenstufenform).

15.02.2009, 13:31

Zellerli

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Zitat:

Daraus schließe ich also dass ich die erste und vierte Spalte einfach so in der Ausgangsmatrix rausschmeißen kann ??

Nicht ganz. Aber sobald du 3 linear unabhängige Vektoren gefunden hast, hast du gewonnen.

eierkopf1 verweist auf die Zeilenstufenform. Diese komplette Umformung ist nicht notwendig, aber so erhälst du formell die maximale Anzahl lin. unabhängiger Vektoren.

Nach deiner ersten Umformung sind allerdings schon 3 erkennbar:

Pick dir erstmal den "primitivsten" heraus. Das ist einer mit möglichst vielen 0en (also zwei 0en).
Der wäre?

Nimm nun einen der durch den ersten nichtmehr darstellbar ist, also an einer Stelle keine 0 vorweist, wo dein erster eine hat. Trotzdem soll dieser zweite Vektor noch möglichst viele 0en haben (also einer 0).
Welche Vektoren kommen hier in Frage?

Zu guter letzt findet sich noch ein Vektor, der nicht durch eine Linearkombination aus dem ersten und zweiten darstellbar ist (also wieder an einer Stelle, an der die beiden ersteren eine 0 haben, keine 0 hat).
Welchen gibt es da?

Und schon haben wir 3 linear unabhängige Vektoren, was heißt, dass du auch bei formeller Anwendung der Zeilenstufenform auf 3 linear unabhängige Vektoren kommst.

Das wiederum heißt: Mindestens Rang 3.

Dann gibt es noch den lustigen Satz:

Für die $\begin{eqnarray*} m \times n \end{eqnarray*}$ Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} rg (A) \leq \min\{m,n\} \end{eqnarray*}$ .

Woraus du schließt: "Höchstens Rang 3" (weil du eine 6x3 Matrix hast).

Mindestens Rang 3, höchsten Rang 3 bedeutet ... ?

15.02.2009, 23:15

Mathe-Gast

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Ich bedanke mich vieeeelmals für diese ausführliche Hilfe und Erläuterung. Also in meiner umgeformten Matrix würde ich dann entweder Spalte 1-3 oder 2-4 benutzen. Kann man denn, damit das ganze formell auf die Stufenform gebracht ist, die Spalten anordnen wie man möchte ? Also erst die vierte/erste, dann die dritte und zuletzt die zweite Zeile ? In dem Fall jetzt nicht so notwendig für die Rangbestimmung, aber insgesamt mal interessant zu wissen.

Studiere Wirtschaftswissenschaften und bin daher nicht sooo der Mathe-Vertraute muss ich gestehen.

16.02.2009, 00:23

Zellerli

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Jo, das sind gute Vektoren. Zu deiner Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} 0 \neq \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ also beliebig (außer 0) dem Körper der Matrix gewählt.
Seien $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ die n-te Zeile, bzw. $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ die n-te Spalte.

Du darfst für die Stufenform zur Rangbestimmung:

Zeilenumformungen:
1. $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot z_n \end{eqnarray*}$ Zeilen beliebig mit einem Element (ungleich 0) aus dem Körper multiplizieren.
Z.B.: $\begin{eqnarray*} z_1'=\frac{1}{4} \cdot z_1 \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} z_1' \end{eqnarray*}$ die "neue" Zeile (nachdem addiert wurde) und $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ die alte Zeile, die "behandelt" wird.

2. $\begin{eqnarray*} z_n'=z_n + \lambda \cdot z_m \end{eqnarray*}$ Auf Zeilen das Vielfache anderer Zeilen addieren.
Z.B.: $\begin{eqnarray*} z_3'=z_3+(-2)\cdot z_1 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} z_n \leftrightarrow z_m \end{eqnarray*}$ Zeilen vertauschen (hier gibts je nach Prof verschiedene Notationen).
Z.B.: $\begin{eqnarray*} z_2 \leftrightarrow z_3 \end{eqnarray*}$ .

Spaltenumformungen:

Hier gilt genau das selbe wie bei den Zeilenumformungen!

1. Durchmultiplizieren von Spalten mit Elementen aus dem Körper
2. Addieren (und Subtrahieren) von Spalten und ihren Vielfachen
3. Vertauschen von Spalten

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