kontrahierende Selbstabbildung - Kontraktionskonstante

14.02.2009, 19:09

Felix

kontrahierende Selbstabbildung - Kontraktionskonstante

Durch $\begin{eqnarray*} f(x) := (x+2)(x+1) \end{eqnarray*}$ wird eine kontrahierende Selbstabbildung das Intervalls [1,2] definiert. Bestimme eine Kontraktionskonstante q und den Fixpunkt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ von f in [1,2]. Zeige ferner, dass f auf [1,2] streng abnimmt.

Wie bestimme ich q ?

lg

14.02.2009, 19:16

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Zitat:

Original von Felix
Durch $\begin{eqnarray*} f(x) := (x+2)(x+1) \end{eqnarray*}$ wird eine kontrahierende Selbstabbildung das Intervalls [1,2] definiert.

Stimmt überhaupt nicht: Es ist z.B. $\begin{eqnarray*} f(1)=6 \not \in [1,2] \end{eqnarray*}$ . unglücklich

14.02.2009, 19:20

Felix

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Es soll $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x+2}{x+1} \end{eqnarray*}$ sein ...

14.02.2009, 19:26

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Zitat:

Original von Felix
Wie bestimme ich q ?

Da dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, geht das z.B. über

$\begin{eqnarray*} q = \sup\limits_{1\leq x\leq 2} | f'(x) | \end{eqnarray*}$ .

14.02.2009, 19:41

Felix

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Danke, aber es sollte auch ohne differenzieren gehen.
Ich wills ja nicht unnötig kompliziert machen aber Differentialrechnung kommt erst ein Kapitel später ...

14.02.2009, 19:49

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Dann weise halt ohne Differentialrechnung die Kontraktionskonstante $\begin{eqnarray*} q = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ nach, direkt über die Definition.

14.02.2009, 20:04

Felix

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Das klappt irgendwie nicht unglücklich

Ich bin jetzt zum Beispiel auf $\begin{eqnarray*} xy^2 + y^2 +3x \geq x^2y + x^2 + 3y \end{eqnarray*}$ für x<y gekommen ...

Was mach ich da jetzt ? Diese Ungleichung muss ja für alle x,y aus [1,2] gelten ...

14.02.2009, 20:15

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Dann hast du dich irgendwie sehr ungeschickt angestellt. Auf $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x+2}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ angewandt ergibt sich ohne jede Kunststückchen, frei geradeaus

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(y) | = \left| \frac{1}{x+1} - \frac{1}{y+1} \right| = \frac{|y-x|}{|(x+1)(y+1)|} \leq q \cdot |y-x| \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} q = \sup\limits_{x,y\in [1,2]} \frac{1}{|(x+1)(y+1)|} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

14.02.2009, 20:18

Felix

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Danke

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