Umfang einer Kardioide

15.02.2009, 05:33

Dbac.sonst

Umfang einer Kardioide

Habe Probleme mit folgender Aufgabe zur Prüfungsvorbereitung

Umfang der Kardioide

$\begin{eqnarray*} r=a(1+\cos \phi) \end{eqnarray*}$

ok ich hab bisher folgendes angestellt

$\begin{eqnarray*} r'=-a \sin \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int^{2 \pi}_{0} ( \sqrt{ a^2(1+\cos \phi)^2+ (-a \sin \phi)^2 } ) d \phi \end{eqnarray*}$

durch ausmultiplizieren + Pythagoras bin ich dann auf folgendes gekommen

$\begin{eqnarray*} a \int^{2 \pi}_{0} (\sqrt{ 2+2 cos \phi } )d \phi \end{eqnarray*}$

meine Frage ist nun mit welcher Methode ich dieses Integral nun ausrechnen kann. Als Lösung kommt 8a heraus

wäre lieb wenn mir jemand einen guten Tip geben könnte?

im voraus Danke

15.02.2009, 11:35

Huggy

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RE: Umfang einer Kardioide
Die Formel

$\begin{eqnarray*} 1+\cos(\Phi) = 2\cos^2(\Phi /2) \end{eqnarray*}$

hilft weiter.

15.02.2009, 14:17

Dbac.sonst

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RE: Umfang einer Kardioide
so richtig klappt das immern noch nicht.

ich mache folgendes
$\begin{eqnarray*} a \sqrt{2} \int^{2 \Pi}_0 \sqrt{1+cos \phi} \end{eqnarray*}$

dann wende ich die von dir beschriebene Formel an und erhalte

$\begin{eqnarray*} a \sqrt{2} \int^{2 \Pi}_0 \sqrt{2 cos^2 (\frac{\Phi}{2})} = 2a \int^{2 \Pi}_0 \cos(\frac{\Phi}{2}) \end{eqnarray*}$

als Lösung für das Integral erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} 2a [ \sin \Pi ] - 2a [\sin 0] \end{eqnarray*}$

dies entspricht doch aber 0

wo liegt der Fehler?

15.02.2009, 14:23

Huggy

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RE: Umfang einer Kardioide
Du musst beachten, daß mit dem Wurzelsymbol immer die positive Wurzel gemeint ist. Der Cosinus wird aber manchmal negativ. Deshalb musst du vor dem Ziehen der Wurzel das Integrationsgebiet aufteilen!

15.02.2009, 15:53

Dbac.sonst

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RE: Umfang einer Kardioide
ok also habe ich jetzt

$\begin{eqnarray*} 2a \int^{ \frac{\Pi}{2} }_0 \cos \frac{\phi}{2} d \Phi - 2a \int^{ \frac{3 \Pi}{2} }_{ \frac{\Pi}{2} } \cos \frac{\phi}{2} d \Phi + \int^{2 \Pi}_{\frac{3 \Pi}{2} } \cos \frac{\phi}{2} d \Phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a (1) - 2a(-1-1) + 2a(1) = 8a \end{eqnarray*}$

wollte nur nochmal zur Sicherheit nachfragen ob das jetzt so korrekt ist. Wenn ja, einen großen Dank an Huggy

15.02.2009, 16:02

Huggy

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RE: Umfang einer Kardioide
8a stimmt! Freude

15.02.2009, 16:04

Leopold

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Nein, stimmt nicht!

15.02.2009, 16:08

Huggy

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@Leopold

Wieso nicht?

15.02.2009, 16:36

Leopold

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RE: Umfang einer Kardioide

Zitat:

Original von Dbac.sonst
$\begin{eqnarray*} 2a \int^{ \frac{\Pi}{2} }_0 \cos \frac{\phi}{2} d \Phi - 2a \int^{ \frac{3 \Pi}{2} }_{ \frac{\Pi}{2} } \cos \frac{\phi}{2} d \Phi + \int^{2 \Pi}_{\frac{3 \Pi}{2} } \cos \frac{\phi}{2} d \Phi \end{eqnarray*}$ = 0

Das ist die falsche Intervalleinteilung. Halbierung des Arguments beachten!

15.02.2009, 16:41

Huggy

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RE: Umfang einer Kardioide
Oh ja, ich hatte nur noch auf das Ergebnis geschaut.

15.02.2009, 16:53

Dbac.sonst

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ja habs auch bemerkt, also der nächste Versuch:

$\begin{eqnarray*} 2a \int^{\Pi}_{0} \cos \frac{\Phi}{2} d \Phi - 2a \int^{2 \Pi}_{\Pi} \cos \frac{\Phi}{2}d \Phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a (2 \sin \frac{\Pi}{2})-2a(-2 \sin \frac{\Pi}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 a + 4 a = 8a \end{eqnarray*}$

stimmt es jetzt?

15.02.2009, 16:56

Huggy

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Jetzt sollte nicht nur das Ergebnis, sondern auch der letzte Teil der Rechnung stimmen.

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