Injektivität, Surjektivität

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congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität, Surjektivität
Ich schreibe Dienstag meine erste Klausur und gehe nochmal alle Themen durch.
Bin dabei auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität gestoßen. Ich weiß ja was die bedeuten, aber hatte bei jeder Aufgabe Probleme diese nachzuweisen.

Habe hier mal eine Aufgabe reingestellt, bei der obiges zu untersuchen ist:

Es sei B = {v1, . . . , vn} eine Basis des reellen Vektorraums V und
die durch
definierte lineare Abblidung. Geben Sie die Matrixdarstellung von
bezüglich B an. Untersuchen Sie auf Injektivität und auf Surjektivität.

-----------------

Aus folgt ja
.
Soweit müsste es ja richtig sein, oder? Nun meine erste Frage: Ist folgende Matrixschreibweise dann richtig?



Falls das soweit richtig wäre, wie gehe ich bei der Untersuchung auf Injektivität/Surjektivität vor?

Danke schonmal in Voraus!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität, Surjektivität
Zitat:
Original von congo.hoango
Aus folgt ja
.

Quatsch!
ist eine Abbildung und keine Aussage! Wie soll aus einem Term etwas folgen? "Aus 17 folgt b+3" - ergibt dieser Satz für Dich Sinn?

Setze meinetwegen dann ist auch

und bezüglich der Basis B stimmt dann auch die Matrixdarstellung für

Über endlichdimensionalen Vektorräumen gilt außerdem:
injektiv surjektiv Die Matrix von ist invertierbar

Jetzt kannst Du einfach auf gut Glück ein Element im Kern suchen, oder die Determinante der Matrix berechnen. Manchmal ist es auch hilfreich sich das ganze erstmal für die Dimension n=2 anzuschauen.
 
 
congo.hoango Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ne Frage zu der Aufgabe:

Ich komme auf:
.

Aber das ist ja nicht gleich:

.

Habe ich mich verrechnet, oder heißt das nun einfach, dass nicht injektiv/surjektiv ist?
xlent Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ könntest du auch zeigen, dass eine lineare Abbildung, welche eine Basis auf eine Basis abbildet bijektiv ist.
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube kaum, dass er das zeigen kann, weil es falsch ist. Denn ist nicht bijektiv, auch wenn es die beiden Basisvektoren von auf 1 abbildet.

Cordovan
xlent Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das stimmt. Formulieren wir es genauer. Sei f:V->W liner und (v1,...,vn) eine Basis von V. Es gilt: f ist isomorphismus <=> (f(v1),...,f(vn)) ist basis von W.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von congo.hoango
Ich komme auf:
.

Aber das ist ja nicht gleich:
.

Habe ich mich verrechnet, oder heißt das nun einfach, dass nicht injektiv/surjektiv ist?


Du hast Dich nicht verrechnet, die Abbildung ist weder injektiv noch surjektiv.

Gruß,
Reksilat.

@xlent: Schau Dir mal unter Prinzip den Punkt mit den Köchen und dem Brei an. Wenn congo hier eine konkrete Frage stellt, so sollte erstmal diese beantwortet werden, bevor man etwas anderes diskutiert.
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