Schnittpunkt von 2 stetigen Funktionen

15.02.2009, 16:31

stereo

Schnittpunkt von 2 stetigen Funktionen

Hallo, und zwar habe ich folgendes Problem:

Sei [a,b] ein Intervall und $\begin{eqnarray*} f,g : [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ seien zwei stetige Funktionen mit

$\begin{eqnarray*} f(a) > g(a) ~~, \quad f(b) < g(b) \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass es ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) = g(x_0) \end{eqnarray*}$ gibt.

Ich definier mir eine Funktion:

$\begin{eqnarray*} h(x) = g(x) - f(x) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} M := \{x \in [a,b]~:~ h(x) \leq 0\} \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt durch $\begin{eqnarray*} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Es gibt eine Folge (x_n) in M die gegen x_0 strebt. Wegen der Stetigkeit von h muss dann auch $\begin{eqnarray*} h(x_n) \rightarrow h(x_0) \end{eqnarray*}$ konvergieren.

Wegen $\begin{eqnarray*} f(x_n) \leq 0 \Rightarrow f(x_0) \leq 0 ~~(\Rightarrow x_0 < b) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nichtmehr weiter? Wo kommt das schlagende Argument?

Ich hatte schon überlegt dass man hier ähnlich argumentiert wie bei dem Dedekindschen Schnittaxiom / Vollständigkeitsaxiom.

15.02.2009, 16:46

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von 2 stetigen Funktionen
Sagt dir der Zwischnwertsatz oder Nullstellensatz von Bolzano etwas?

15.02.2009, 16:48

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich, sonst hätte ich doch die Überlegungen gar nicht machen können smile

Der Zwischenwertsatz ist ja die neue Funktion h(x), und dann muss ich mit den Nullstellensatz von Bolzano argumentieren.

Aber das gilt ja zu beweisen.

15.02.2009, 19:03

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also darfst du den Nullstellensatz nicht anwenden? Falls nicht, so könntest durch ein Halbierungsverfahren mithilfe einer Intervallschachtelung eine Nullstelle finden.

15.02.2009, 19:50

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt anwenden? Der Nullstellensatz von Bolzano sagt ja aus dass eine stetige Funktion zwischen f(a)<0 und f(b)>0 mindestens eine Nullstelle hat.

Der Zwischenwertsatz sagt aus dass in diesem Intervall eine Funktion jeden Wert annehmen kann (baut auf dem Nulllstellensatz auf).

So jetzt habe ich meine Funktion so definiert dass ich den Nullstellensatz von Bolzano "anwenden" kann. Denn bei x_0 triit bei der neu definierten Funktion eine Nullstelle auf (siehe oben).

Jedoch meine Frage: Inwiefern "wende" ich den Satz an, muss ich hier nicht den Satz selbst beweisen?

15.02.2009, 20:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend hast du meine Frage nicht verstanden. Meine Frage zielte darauf ab, ob ihr den Nullstellensatz in der Vorlesung schon bewiesen habt?! Wenn nicht, kannst du ihn natürlich nicht anwenden.

Zu deinem Ansatz: Dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt ist durch $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , charakterisiert dein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ noch nicht eindeutig und nicht so, wie du es danach benutzt. Du solltest einfach $\begin{eqnarray*} x_0:=\sup M \end{eqnarray*}$ definieren. Dein Argument für $\begin{eqnarray*} h(x_0)\leq 0 \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ !) ist dann korrekt. Nimm doch einmal an, es wäre $\begin{eqnarray*} h(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ und benutze die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , um damit einen Widerspruch zur Definition von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ herzuleiten.

15.02.2009, 20:50

stereo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre $\begin{eqnarray*} h(x_0) < 0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es in dem Intervall (x_0, b] noch negative Werte für h(x) (also: h(x)<0), dies steht ja im Widerspruch zu meiner Definition.

Also wir hatten den Satz in der Vorlesung. Heißt das es reicht wenn ich mir die Funktion definiere und dann einen Vermerk auf Bolzano mache?

Jetzt noch eine Frage, die nichts mit der Aufgabe zu tun hat.

Warum muss man immer alles in der Vorlesung behandelt haben? Wieso legt man da soviel Wert drauf? Ich studier Physik und belese mich viel und löse dann auch meist dementsprechend meine Aufgaben anders, aber es geht doch darum das Problem zu verstehen? Die Mathematik wird mir dahingehend sehr unsympatisch smile

15.02.2009, 21:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich geht es darum, das Problem zu verstehen. Wenn du die Aufgabe selbstständig löst, ist das auch in Ordnung und hat wahrscheinlich sogar einen größeren Lerneffekt. Aber wenn eine Aussage in der Vorlesung bereits bewiesen wurde, dann kann man diese natürlich benutzen. Nur deswegen haben wir auch gefragt. Du musst den Satz natürlich nicht benutzen, dann musst du aber die Aussage der Aufgabe selbst beweisen. Und weiterhin sei noch angemerkt, dass Mathematik so funktioniert, dass man nur schon bewiesene Aussagen benutzen darf, was dann natürlich auch bei einer Vorlesung gilt.

16.02.2009, 03:38

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von stereo
Heißt das es reicht wenn ich mir die Funktion definiere und dann einen Vermerk auf Bolzano mache?

Es kommt drauf an, wie du dir diesen Vermerk vorstellst. Du solltest darin schon begründen, warum der Satz auf die Funktion h anwendbar ist und was nach dem Satz für die Funktion h folgt. Danach musst du diese Aussage wieder auf die Funktionen f und g übertragen.

Neue Frage »

Antworten »

Schnittpunkt von 2 stetigen Funktionen

Verwandte Themen