Symmetriegruppen: Index einer Untergruppe

15.02.2009, 16:24

Cryptkeeper

Symmetriegruppen: Index einer Untergruppe

Hi,

ich habe Schwierigkeiten den Index einer Untergruppe zu verstehen. Hier mal am Beispiel der Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks:

G:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|}&id&D$_{120}$&D$_{240}$&S$_1$&S$_2$&S$_3$\\\hline id&id&D$_{120}$&D$_{240}$&S$_1$&S$_2$&S$_3$\\\hline D$_{120}$&D$_{120}$&D$_{240}$&id&S$_3$&S$_1$&S$_2$\\\hline D$_{240}$&D$_{240}$&id&D$_{120}$&S$_2$&S$_3$&S$_1$\\\hline S$_1$&S$_1$&S$_2$&S$_3$&id&D$_{120}$&D$_{240}$\\\hline S$_2$&S$_2$&S$_3$&S$_1$&D$_{240}$&id&D$_{120}$\\\hline S$_3$&S$_3$&S$_1$&S$_2$&D$_{120}$&D$_{240}$&id\\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

Die Gruppe müsste also folgende Untergruppen haben!?

H:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|c|c|}&id&S$_1$\\\hline id&id&S$_1$\\\hline S$_1$&S$_1$&id\\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

I:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|c|c|}&id&S$_2$\\\hline id&id&S$_2$\\\hline S$_2$&S$_2$&id\\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

J:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|c|c|}&id&S$_3$\\\hline id&id&S$_3$\\\hline S$_3$&S$_3$&id\\\hline\end{tabular} \end{eqnarray*}$

K:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c|c|c|c|} &id&D$_{120}$&D$_{240}$\\\hline id&id&D$_{120}$&D$_{240}$\\\hline D$_{120}$&D$_{120}$&D$_{240}$&id\\\hline D$_{240}$&D$_{240}$&id&D$_{120}$\\\hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Die Ordnung der Gruppen und nach dem Satz von Lorouge der Index sind also folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} org~G = 6\\ord~H = 2~~~~~ind~H = 3\\ord~I = 2~~~~~ind~I = 3\\ord~J = 2~~~~~ind~J = 3\\ord~K = 3~~~~~ind~K = 2 \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung haben wir den Index so definiert:

code:
1:	Die Anzahl der Äquivalenzklassen für eine Relation ~H (bezgl. einer Untergruppe H) nennt man Index von H in G "ind H"

Jetzt habe ich aber schon Probleme damit, hier überhaupt irgendwelche Äquivalenzklassen zu identifizieren, geschweige denn in der vom Index "geforderten" Anzahl.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank,

Cryptkeeper

15.02.2009, 17:20

Reksilat

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Hallo Cryptkeeper,

Man definiert hier die Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \sim_H \end{eqnarray*}$ bezüglich der (Links-)Nebenklassen von H in G. Das heißt
$\begin{eqnarray*} x\sim_H y \end{eqnarray*}$ gdw. $\begin{eqnarray*} xH=yH \end{eqnarray*}$

Der Index ist dann genau die Anzahl dieser (disjunkten) Nebenklassen, und da jede Nebenklasse genau $\begin{eqnarray*} |H| \end{eqnarray*}$ viele Elemente enthält ist der Index gerade
$\begin{eqnarray*} |G:H|=|G|/|H| \end{eqnarray*}$

Achtung: Man kann diese Relation natürlich auch bezüglich Rechtsnebenklassen definieren, man erhält dann auch den gleichen Index, es entsteht aber möglicherweise eine andere Äquivalenzrelation.
$\begin{eqnarray*} xH=yH\not\Rightarrow Hx=Hy \end{eqnarray*}$

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} H=\{{\rm id},s_1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_{120}H=\{d_{120},s_3\}=s_3H\Rightarrow d_{120}\sim_H s_3 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} Hd_{120}=\{d_{120},s_2\}=Hs_2\neq Hs_3 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat

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