Konvergenz einer Folge

15.02.2009, 19:03

Mister-X

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Konvergenz einer Folge

Hallo!
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ sind Folgen. x und y sind konvergent und haben denselben Grenzwert. z ist nur beschränkt.
Ich soll jetzt diese Folge auf Konvergenz prüfen und ggfs. den Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray*} z_n*x_n+(1-z_n)*y_n \end{eqnarray*}$
Die Folge kann man ja so umschreiben: $\begin{eqnarray*} y_n+z_n(x_n-y_n) \end{eqnarray*}$
Der Limes von x und y ist ja gleich. Würde dann nicht der letzte Summand einfach wegfallen und das ganze gegen $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ laufen?

15.02.2009, 19:09

Mathespezialschüler

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Es würde gegen $\begin{eqnarray*} y=\lim y_n \end{eqnarray*}$ konvergieren, nicht gegen $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ . Dass das stimmt, sollte man natürlich beweisen.

15.02.2009, 19:21

Mister-X

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Ja, ich meinte natürlich, dass das gegen den Grenzwert von y konvergieren würde.
Warum muss man da denn noch was beweisen? Im Grenzfall gilt doch $\begin{eqnarray*} x_n-y_n=0 \end{eqnarray*}$ eben weil die denselben Grenzwert haben. Damit wäre $\begin{eqnarray*} z_n*(x_n-y_n) \end{eqnarray*}$ auch gleich Null. Dann würde nur noch y überbleiben.

15.02.2009, 19:27

Mathespezialschüler

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Im Grenzfall. Aber du multiplizierst doch noch mit einer anderen Folge! $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ konvergiert auch gegen Null, wenn du aber mit der Folge $\begin{eqnarray*} (n) \end{eqnarray*}$ multiplizierst, dann bekommt man die Folge $\begin{eqnarray*} (1)=\left(n\cdot\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ und die konvergiert nicht gegen Null.

15.02.2009, 20:10

Mister-X

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Hmm...da hast du wohl recht. Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich den Beweis führen könnte?

15.02.2009, 20:16

stereo

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Hier kann man doch die Rechenregeln für Grenzwerte benutzen.

Da die Folge (n) divergiert, kann man auch nicht diese Regeln benutzen. Aber die oben genannten Folgen sind doch alle konvergent.

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15.02.2009, 20:19

Mister-X

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z ist nicht konvergent, sondern nur beschränkt.

15.02.2009, 20:24

Mathespezialschüler

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Ja, genau das musst du aber benutzen. Du musst ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (z_n\cdot (x_n-y_n)) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und das geht über die Definition. Wegen der Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z_n|\leq K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Und jetzt musst du zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |z_n\cdot (x_n-y_n)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Dabei musst du natürlich irgendwie nutzen, dass $\begin{eqnarray*} (x_n-y_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

15.02.2009, 22:12

Mister-X

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Hilft mir das weiter, wenn ich folgende Umformungen mache?
$\begin{eqnarray*} |z_n| <= K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>|z_n|*|x_n-y_n| <= K*|x_n-y_n| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |z_n*(x_n-y_n)| <= K*|x_n-y_n| \end{eqnarray*}$

15.02.2009, 23:52

Mathespezialschüler

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Die Äquivalenzpfeile stimmen zwar nicht, aber die letzte Ungleichung ist trotzdem richtig. Und weiter?

16.02.2009, 15:26

Mister-X

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$\begin{eqnarray*} |z_n\cdot(x_n-y_n)| \leq K\cdot|x_n-y_n| \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} x_n-y_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, existiert ein für $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{K} \end{eqnarray*}$ ein n in den natürlichen Zahlen, sodass gilt $\begin{eqnarray*} |x_n-y_n| < \frac{\varepsilon}{K} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Und das ist ja die Definition für die Konvergenz. Damit müsste die Folge ja kovergent sein, oder? Und der Grenzwert wäre dann der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$

16.02.2009, 15:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mister-X
Da $\begin{eqnarray*} x_n-y_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist

Warum? Begründe dies ordentlich.

16.02.2009, 15:38

Mister-X

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Da gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = \lim_{n \to \infty } y_n = a \end{eqnarray*}$
gilt auch: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (x_n-y_n) = a-a = 0 \end{eqnarray*}$
Wäre der Rest, den ich oben aufgeschrieben habe, denn richtig?

16.02.2009, 16:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mister-X
Da gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = \lim_{n \to \infty } y_n = a \end{eqnarray*}$
gilt auch: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (x_n-y_n) = a-a = 0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt. Aber woher weißt du das denn?

16.02.2009, 16:34

Mister-X

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Dass x und y den konvergieren und den gleichen Grenzwert haben, war vorgegeben. Und beim Rest habe ich dann nur die Rechenregeln für Grenzwerte angewandt.

16.02.2009, 16:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mister-X
Und beim Rest habe ich dann nur die Rechenregeln für Grenzwerte angewandt.

Gut. Das solltest du in deinen Ausführungen erwähnen.

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