Verständnisfrage

15.02.2009, 19:27

Ln2

Verständnisfrage

'N Abend

Ich hab da mal ne Frage, und zwar:
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~y\cdot y'~dx = \int_{ }^{ }~y\cdot \frac{dy}{dx}~dx = \int_{ }^{ }~y~dy \end{eqnarray*}$

Darf man das machen, also kann ich mit dy und dx einfach so rechnen, als wären es normale Variablen? Habt ihr einen Rat wie ich mir den letzten Term eventuell grafisch vorstellen könnte?

Ich hab mal algeabrisch versucht, an die Sache heranzugehen.
Unter dem ersten Integral verstehe ich folgende Summe:
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~y \cdot y'~dx= \sum_{ }^{} ~f(i \cdot dx)\cdot \frac{dy_i}{dx} \cdot dx=\sum_{ }^{} ~f(i \cdot dx)\cdot dy_i \end{eqnarray*}$

Den letzten Term versteh ich so:

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~y ~dy= [f(dy_1) \cdot dy_1]+[f(dy_1+dy_2) \cdot dy_2]+...+[f(dy_1+dy_2+...+dy_n)) \cdot dy_n] \end{eqnarray*}$
Ich bezweifle jedoch, dass diese Terme äquivalent sind verwirrt

Ob mir nicht jemand erklären möchte, wie ich das alles zu verstehen habe geschockt

15.02.2009, 19:43

Leopold

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RE: Verständnisfrage

Zitat:

Original von Ln2
Darf man das machen, also kann ich mit dy und dx einfach so rechnen, als wären es normale Variablen? Habt ihr einen Rat wie ich mir den letzten Term eventuell grafisch vorstellen könnte?

1. Antwort: Nein, das sind formale Ausdrücke, keine gewöhnlichen Variablen.

2. Antwort: Ja, in gewissem Umfang. Im Rahmen der Kettenregel bzw. ihrer Umkehrung, der Substitutionsregel, darf man mit den Differentialen formal multiplizieren und dividieren. Dieser Kalkül ist technischer Art und erleichtert einem das Rechnen, weil die beiden recht komplizierten Regeln formal darin eingefaßt werden. Was Differentiale ontologisch bedeuten, darüber streiten die Mathematiker seit ihrer Erfindung. Es gibt verschiedene Wege, diesen Zeichen eine Bedeutung zu geben. Für den Kalkül ist die Bedeutung der Zeichen aber unerheblich. Man kann sich da ganz auf einen formalen Standpunkt zurückziehen.

Was du mit den Summen rechnest, verstehe ich nicht. Sollen das Riemannsche Summen sein?

15.02.2009, 20:31

Ln2

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Hm... ich weiß ehrlich gesagt nicht, was Riemann Summen überhaupt sind unglücklich

Ich dachte lediglich, dass Integrale auch nur Summen sind und zwar die (unendliche) Summe des Produkts f(x_i) * dx wobei x_1 = dx; x_2=2dx; x_3=3dx etc.

Noch mal zu meiner Frage:

Den Term
$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~f(x)~dx \end{eqnarray*}$
stelle ich mir so vor, dass die ganze Fläche unter der Funktion f(x) in kleine Streifen der Breite dx geteilt ist. Das Integral ist dann die Summe der Flächen dieser Streifen.

Wie aber kann ich mir das bei

$\begin{eqnarray*} \int_{ }^{ }~f(x)~dy \end{eqnarray*}$

vorstellen? Die Streifenbreite ist hier ja nicht überall gleich verwirrt

Ich hoffe ihr versteht irgendwie was ich möchte traurig

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