Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe

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Külle Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Hier eine schöne Aufgabe aus dem Bereich Extremwertberechnung:

Ein Bauunternehmen plant den Bau fertiger Einzel- und Reihenhäuser, Einzehaus benötigt 800m^2, Reihenhaus 400m^2, maximal 12000m^2 zur Verfügung. Kosten pro Einzelhaus: 200.000EUR, Reihenhaus 150.000EUR, max Ausgabe 3.600.000EUR. Arbeitszeit beträgt pro Einzelhaus 5.000Std, Reihenhaus 4.000Std, max 94.000Std zur Verfügung.
Gewinn an Einzelhaus 19.500EUR, Reihenhaus 15.000EUR
Frage: Wieviel Häuser von jedem Typen müssen gebaut werden, wenn der Gewinn möglichst groß sein soll?

Habe folgende Ansätze:
(800*m^2_E)+(400*m^2_R) = 12.000m^2
(200.000*k_E)+(150.000*k_R) = 3.600.000EUR
(5.000*std_E)+(4.000*std_R) = 94.000Std

das sind die folgenden Bedingungen, die ich aufgestellt habe, um an die Lösung zu kommen.

Mit Hilfe einer ganz tollen Software ( Excel ;-) ) habe ich mich auf den Bau von 6 Einzelhäusern und 16 Reihenhäuser festgelegt, da hier Kosten und Stunden maximal sind. Der Gewinn beträt hierbei 357.000EUR.

Der Rechenweg ist bestiummt nicht im Sinne des Erfinders, ich komm aber selber nicht auf die mathematische korrekte Lösung des Problems.

Kann mir bitte jmd dabei weiterhelfen???

Gruß Külle
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Ich würde das Beispiel in den Bereich der linearen Optimierung einordnen. Sagt dir der Begriff etwas? verwirrt
 
 
Külle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Vielleicht gar keine so schlecht Idee?! Problem ist ja nun mal, die 3 linearen Bed in eine schöne Formel zu packen, in der ich diverse Unbekannt evtl substituieren kann.ICH KOMM NUR AUF DIESEN SCH...ANSATZ NICHT!!!

Gruß Külle
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Ich versuchs mal zu skizzieren:
Reihenhaus: x
Einfamilienhaus: y
Nichtnegativitätsbedingungen:
I. x>=0;
II. y>=0
Einschränkenden Bedingungen:
III. 400x+800y<=120000
IV. 150000x+200000y<=3600000
Zielfunktion: z
15000x+19500y ->max

Die Aufgabe besteht nun in
  1. die Menge aller Zahlenpaare (x/y) finden, welche die Ungleichungen I bis IV erfüllen -> Ermittlung des Zulässigkeitsbereiches
  2. Jenes bzw. jene Zahlenpaare zu finden, für welche(s) die Zielfunktion den maximalen Wert annimmt.


Lösungsansatz:
ad 1) Durchschnitt der 4 Halbebenen zeichnerisch ermitteln
ad 2) Alle Lösungen, die denselben Gewinn z liefern, liegen auf einer Geraden. Ihre Gleichung erhält man durch auflösen von z nach y.
Zeichne zuerst eine Gerade mit z=0 und verschiebe diese dann parallel. Den maximalen Gewinn findest du dann durch jene Parallele, die einenmöglichst großen Abschnitt auf der y-Achse abschneidet, dabei aber noch mindestens einen Punkt des Zulässigkeitsbereichs enthält.

Ist es irgendwie verständlich, oder soll ich eine Zeichnung posten?

verwirrt Wofür braucht man die Arbeitszeit? Habe ich etwas übersehen?
Külle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Es geht noch darum, dass eien nur begrenzte Arbeistzeit zur Verfügung steht, idF 94.000Std, wobei Für Einzelhäuser 5.000Std, für Reihenhäuser 4.000Std benötigt werden. Ich werde mir jetzt deine Ansätze zu Gemüte führen, auf den ersten Eindruck klingt die Idee nicht schlecht, mit ner Zeichnung wär# s natürlich noch besser!
Wenns keine Umstände macht und du schon was parat hast, mail doch einfach was rüber: [email protected]

Gruß Külle & schon mal Danke!!!! :]
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Bin grad beim Zeichnen, mails dir dann. Wink
Külle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
da wär noch eine Sache:
Wenn ich beispielsweise x von 0 bis 30 laufen lasse und mir so die möglichen Paarwerte für y berechne, wie stelle ich dies zeichnerisch dar?

Bsp.: bei 4 Einzelhäusern kann ich um die max Fläche auszunutzen 13 Reihenhäuser bauen - oder weniger!!! Ich zeichne nun einfach mal für die entsprechenden Funktionen - Wertepaare seind ja easy- die Geraden, vielleicht gibt das die gleiche Zeichnung wie bei dir!

Gruß Külle
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Genau! :]
Du zeichnest die 5 Geraden (die mit der Arbeitszeit kommt noch als 5. hinzu).
Dann zeichnest du die Gewinngerade mit z=0 (also im Ursprung), verschiebst diese dann parallel, bis die Bedingungen erfüllt. Du siehst, das dies im Schnittpunkt von III und IV ist und berechnest dann den Schnittpunkt der beiden Geraden -> 12 Reihenhäuser und 9 Einfamilien -> Gewinn berechnen. Fertig! smile

Das mit der Zeichnung schicken, lass ich lieber, der Scanner will einfach nicht meine Bleistiftzeichnung vollständig scannen und du weißt ohnedies wie es geht.

Wink
Külle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
war im Grunde echt easy going, habs in Excel gemacht, mir ein schönes Diagram zeichnen lasse, der Datenpunkt ist identisch mit dem, den du mir gegeben hast!!!

Danke noch mal für die Hilfe, wenn ich mal wieder ein Problem hab, komm ich gerne auf dich zurück!!

Schönes WE, Gruß Külle, Wink
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung-Knifflige Aufgabe
Gern gescheh'n! smile
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