"einfache" Ableitung: f(x) = (x-d)² - f(x)' = ??

16.02.2009, 17:40

dau67

"einfache" Ableitung: f(x) = (x-d)² - f(x)' = ??

Nabend - ich bin in der 10. Klasse und wir behandeln im Moment Ableitungen aber irgendwie verstehe ich das alles überhaupt nicht...

Nehmen wir mal an wir haben die Funktion f(x) = x² und die Ableitung in dem Punkt a.

Dann setzte ich ein m = x² - a² / x-a = (x-a)*(x+a) / (x-a) = x + a - lim x=>a = 2a
Dann setz ich in f(x) = mx+b ein und erhalte am Ende die Ableitung f(x) = 2a * x - a²

Soo, das is ja noch relativ einfach... Nun möchte ich das Ganze mit f(x) = (x-d)² machen aber ich bekomme es einfach nicht hin an der unterstrichenen Stelle den Nenner raus zu kürzen...

Ich habe dann also m = (x-c)² - (a-c)² / (x-a) -- dann habe ich so einiges probiert (binomische formel etc.) aber es einfach nicht hinbekommen....

Könnte mir jmd weiter helfen? Aber bitte nicht einfach nur das Ergebnis posten sonder wenn einen Rechenweg.

16.02.2009, 18:18

klarsoweit

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RE: "einfache" Ableitung: f(x) = (x-d)² - f(x)' = ??

Zitat:

Original von dau67
Dann setz ich in f(x) = mx+b ein und erhalte am Ende die Ableitung f(x) = 2a * x - a²

Wenn du die Gleichung der Tangente aufstellst, solltest du für die Funktion eine andere Bezeichung nehmen, also t(x) statt f(x).

Zitat:

Original von dau67
Ich habe dann also m = (x-c)² - (a-c)² / (x-a) -- dann habe ich so einiges probiert (binomische formel etc.) aber es einfach nicht hinbekommen....

Geht doch genauso. Binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{(x-c)^2 - (a-c)^2}{x-a} = \frac{((x-c) - (a-c)) \cdot ((x-c) + (a-c))}{x-a} \end{eqnarray*}$

Noch etwas umformen und schon läßt sich das x-a kürzen. Augenzwinkern

16.02.2009, 18:50

dau67

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Wenn das Umformen mal so einfach wäre ^^

Habe es so versucht umzuformen und kam dann nicht wirklich zu einem ordentliche Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x² - 2cx + c² - a² - 2ac + c²}{x-a} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {(x-a)*(x+a) - 2cx - 2ac + 2c²}{x-a} \end{eqnarray*}$

Und dann letztentlich:

$\begin{eqnarray*} f(x) =(x+a) - 2c * ((x+a)*(x-a)) + 2c² \end{eqnarray*}$

Aber das ist irgendwie alles nicht das wahre...

16.02.2009, 19:37

ManuelS.

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Zitat:

Original von dau67
Wenn das Umformen mal so einfach wäre ^^

Habe es so versucht umzuformen und kam dann nicht wirklich zu einem ordentliche Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x² - 2cx + c² - a² - 2ac + c²}{x-a} \end{eqnarray*}$

Du hast die negative Klammer nicht beachtet. Es müsste sein:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x² - 2cx + c² - a² + 2ac - c²}{x-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {x² - a² - 2cx + 2ac}{x-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {(x + a)(x - a) - 2c(x - a)}{x-a} \end{eqnarray*}$

=

(x + a) - 2c

16.02.2009, 19:46

dau67

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Ahh, nun macht das auch wieder Sinn... da war ja was in Richtung Vorzeichen umdrehen... danke dir!

16.02.2009, 20:06

dau67

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Sorry aber eien Frage hätt ich da noch: Warum verschwindem im letzten Schritt beide "(x-a)"? Eigentlich würde sich doch nur eins wegkürzen?

16.02.2009, 20:07

Q-fLaDeN

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Warum löst ihr denn die von klarsoweit gepostete Gleichung wieder auf? verwirrt

Das steht doch so schön als Produkt schon da.

$\begin{eqnarray*} m = \frac{(x-c)^2 - (a-c)^2}{x-a} = \frac{((x-c) - (a-c)) \cdot ((x-c) + (a-c))}{x-a} = \frac{(x-a) \cdot (x-2c+a)}{x-a} \end{eqnarray*}$

Kommt im Endeffekt natürlich auf das gleiche drauf raus, aber warum so viele Zwischenschritte?

16.02.2009, 20:46

dau67

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Ich finde den oberen Weg etwas logischer also von daher...

Kannst du mir evtl. noch erklären wo beim letzten Schritt das zweite "(x-a)" gelieben ist? Eines kürzt sich mit dem nenner aber das andere?
Das Ergebnis stimmt ja aber ich würde gerne verstehen wie es zustande kam.

16.02.2009, 20:58

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {(x + a)(x - a) - 2c(x - a)}{x-a} \end{eqnarray*}$

Hier kannst du noch nicht einfach so kürzen, denn da steht eine Summe im Zähler!

Entweder man klammert x-a aus, oder zieht den Bruch auseinander:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {(x + a)(x - a) - 2c(x - a)}{x-a} = \frac{(x+a)(x-a)}{x-a}-\frac{2x(x-a)}{x-a} = ... \end{eqnarray*}$

Hier kannst du jetzt einzeln kürzen, denn in beiden Brüchen stehen Produkte im Zähler und im Nenner.

Oder eben mit ausklammern:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac {(x + a)(x - a) - 2c(x - a)}{x-a} = \frac{(x-a)((x+a)-2c)}{x-a} \end{eqnarray*}$

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