Komplexe Abbildungen

16.02.2009, 20:09

BeniS

Komplexe Abbildungen

Hallo,

Ich muss ein Referat über Komplexe Abbildungen machen.
Leider weiß ich nicht was das ist.

Könnte mir jemand helfen, vielleicht mit einfachen Beispielen?
Oder kurz zusammenfassen was Komplexe Abbildungen überhaupt sind.

Danke.

16.02.2009, 21:08

tigerbine

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RE: Komplexe Abbildungen
Als Fachbegriff sagt mir das nichts. hattet ihr schon komplexe Zahlen und sollt nun Abbildung bzgl. dieser Zahlenmenge betrachten? http://geosoft.ch/geo/abb.html

http://www-m10.ma.tum.de/twiki/bin/view/...exeAbbildungen2

03.03.2009, 18:10

BeniS

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RE: Komplexe Abbildungen
[quote]Original von tigerbine
hattet ihr schon komplexe Zahlen und sollt nun Abbildung bzgl. dieser Zahlenmenge betrachten?

Ich denke schon. Kannst du mir irgendwie weiterhelfen?

03.03.2009, 18:27

system-agent

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Falls es so ist, wie tigerbine schrieb, ist eine komplexe Abbildung wie du es nennst einfach eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge.

Die Frage ist dann, über was du dabei reden sollst...

03.03.2009, 19:43

BeniS

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Ich müsste zwei nicht-triviale Beispiele für komplexe Abbildungen vorstellen.
Könntet du mir vllt. welche reinstellen, nach deiner Definition?

04.03.2009, 08:26

system-agent

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Entschuldige, aber das was du da sagst tönt ziemlich witzlos.

Das was ich geschrieben habe ist einfach eine Abbildung von einer Teilmenge der komplexen Zahlen hinein in die komplexen Zahlen.
Einfach zwei Abbildungen zu nehmen ist sinnlos, die Frage ist über was du bei den Abbildungen referieren sollst, das heisst geht es darum einfach eine Definition einer solchen Abbildung? Das ist aber in einem Satz gemacht:
Es ist eine Abbildung von einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
Gehts es darum über Eigenschaften von solchen Abbildungen zu reden, zum Beispiel Stetigkeit oder Differenzierbarkeit?
Geht es vielleicht um speziellere Abbildungen, die man auch unter dem Namen Weg kennt? Ein Weg ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma:[a,b]\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Intervall ist.

04.03.2009, 17:15

BeniS

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Die Aufgabenstellungen ist: Stellen sie zwei nicht triviale komplexe Abbildungen exemplarisch dar!
Ich hätte halt gedacht, dass "komplexe Abbildung" ein Fachbegriff ist.
Wäre cool, wenn du die Geduld mit mir nicht verlieren würdest und mir helfen könntest! Augenzwinkern

04.03.2009, 17:57

Jacques

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Hallo,

Eigentlich ist doch schon alles gesagt worden, oder? Augenzwinkern

„Komplexe Abbildung“ hat in diesem Fall offenbar die entsprechende Bedeutung wie „reelle Abbildung“; also gemeint ist eine Funktion, die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbildet -- wie ja schon gesagt wurde.

Und unter „nicht-trivial“ könnte man zwei Dinge verstehen: Erstens soll die Abbildung keine allzu simple Vorschrift haben, also die identische Funktion, konstante Funktionen o. ä. sind ausgeschlossen. Zweitens ist vielleicht auch noch gemeint, dass die Abbildung „echt komplex“ sein soll; rein nach Definition ist ja auch jede reelle Abbildung komplex, aber die reellen sind in diesem Fall vermutlich ausgeschlossen.

Was damit gemeint ist, dass Du die Abbildungen „darstellen“ sollst, kann man aus der Aufgabenstellung natürlich nicht erkennen.

Vielleicht als allgemeiner Tipp: Frage direkt nach, wenn in der Aufgabenstellung ein unbekannter Begriff vorkommt. Dann brauchst Du nicht später festzustellen, dass die Aufgabe viel zu allgemein formuliert ist. Augenzwinkern

04.03.2009, 18:37

BeniS

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Du weißt also auch nicht, wie man eine komplexe Abbildung, also eine Abbildung komplexer Zahlen auf komplexe zahlen, darstellen kann?

04.03.2009, 19:29

tigerbine

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Warum kommt nicht mal was von dir...? Er hat doch schon geschrieben, von C nach C. Die Identität wäre das einfachste. Aber egal was man definiert, dass ist so nicht spannend. Also frag rück, ob nicht das was system-agent vermutet hat eigentlich gemeint war.

GGF. noch interessant mal den Graphen einer solchen Funktion zu zeichnen...

04.03.2009, 19:33

Jacques

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Zitat:

Original von BeniS

Du weißt also auch nicht, wie man eine komplexe Abbildung, also eine Abbildung komplexer Zahlen auf komplexe zahlen, darstellen kann?

Also „darstellen“ ist sicherlich kein Fachbegriff. Es könnte um den Graphen gehen, wie tigerbine ja schon geschrieben hat. Oder vielleicht geht es um irgendetwas vollkommen anderes?

Wie gesagt: Du wirst den Lehrer nochmal fragen müssen.

04.03.2009, 19:36

system-agent

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Mal zum vergleich wieso das so nicht gehen kann wie du es gewohnt bist von "gewöhnlichen reellen" Abbildungen:
Nehmen wir eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ , dann hast du das Bild der Normalparabel vor dir.
Doch was ist das eigentlich?
Malst du die Parabel, dann malst du eine Punktmenge in 2 Dimensionen, das heisst in der Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ an. Genauer, du malst die Menge
$\begin{eqnarray*} \{(x,f(x))\in\mathbb R^2\quad:\quad f(x)=x^2\} \end{eqnarray*}$
an, die eine Teilmenge der reellen Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun nehmen wir eine komplexe Abbildung
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\mapsto z^2 \end{eqnarray*}$ .
Hier könnte man meinen, man muss dich lediglich die Menge
$\begin{eqnarray*} \{(z,f(z))\in\mathbb C^2\quad:\quad f(z)=z^2\} \end{eqnarray*}$
anmalen um ein Bild zu bekommen. Das stimmt, das Problem ist allerdings, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ selbst schon als Ebene dargestellt wird, also $\begin{eqnarray*} \mathbb C\simeq\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2\simeq\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .
Das bedeutet wenn du die Menge wirklich malen willst, dann müsstest du ein Bild im vierdimensionalen Raum malen.
Das kann nicht gehen.
Das bedeutet eine solche Darstellung wie für reelle Abbildungen kann man nicht malen.
Man kann allerdings zwei Bilder malen: im ersten wie alles aussah, bevor man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anwendet und im zweiten wie es danach aussieht [und beispielsweise gewisse Geraden einzeichnen und sehen, das mit denen passiert].

17.05.2009, 09:00

cini

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Komplexe abbildungen
Bsp.:

w = (1+i)z

Probiere einige Zahlen beispielhaft ein, beispielsweise A = 0, B = 1, C = 2i
Wenn du dann jeweils A und A' in der Gaussschen Ebene (kennst du die? ist igentlich dasselbe wie ein stinkgewöhnliches Koordinatensystem mit x und y, aber anstatt x hast du den Realteil der komplexen Zahl (also das ohne i) und anstatt y den Imaginärteil (derjenige mit i)). Wenn du dann das Dreieck vorher und nachher vergleichst wirst du sehen, dass die Abbildung das ursprüngliche Dreieck gedreht und gestreckt hast... Wenn du nun mit deiner Klasse vor der Tafel stehst, könntest du sie fragen, ob sie wissen, wo der Fixpunkt dieser Abbildung ist. Das ist derjenige Punkt, welcher auf sich selbst abgebildet wird. Hier ist er 0 (wenn du z = 0 einsetzt, erhältst du w = 0). Mittels Tangens kannst du den Drehwinkel rausfinden und den Streckungsfaktor (alternativ auch indem du in die Polarform umwanddelst. Polarform: r*cis(alpha))

Zweites "trivales Beispiel":
w = z+(3-i)
Dieselben Überlegungen wie oben...

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