Wurzelziehen im komplexen

17.02.2009, 12:35

easyone

Wurzelziehen im komplexen

Hallo
ich habe ein problem beim Wurzelziehen im komplexen. zur verfügung habe ich ja diese formel

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} e^i(\frac{phi+2\pi*k}{n}) \end{eqnarray*}$

in den übungen habe ich auch jeweils immer mit dieser formel gerechnet. Wenn ich jetzt aber mit die alten klausuren angucke werden diese aufgaben immer anders gerechnet mit dieser formel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} e^i(phi+2\pi*k) \end{eqnarray*}$

es wird also praktisch nicht mehr durch n geteilt. Ich verstehe nicht ganz wieso, ausserdem krieg ich die aufgaben nicht mehr hin wenn ich es mit der von mir immer angewendten methode mache.

eine beispielaufgabe wäre

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} (z+1-2i)^{3}=13 \frac{2-i}{2-3i}-8-5i \end{eqnarray*}$

<-> $\begin{eqnarray*} (z+1-2i)^{3}= w^{3} \end{eqnarray*}$ und -1-i
<-> -1-i = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}( -\frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{i}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} e^- \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

ab hier komme ich zu besagtem problem. ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

17.02.2009, 13:09

klarsoweit

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RE: Wurzelziehen im komplexen

Zitat:

Original von easyone
es wird also praktisch nicht mehr durch n geteilt.

Möglicherweise ein Schreibfehler.

Latextipp: stelle einen kompletten Ausdruck, der im Exponenten stehen soll, in geschweifte Klammern: e^{...} smile

17.02.2009, 13:15

easyone

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Zitat:

Möglicherweise ein Schreibfehler.

alles aufgaben zu diesem thema wurden in den klausuren ohne die Teilung durch n gerechnet.

und wenn ich es versuche mit der teilung durch n zu rechnen, komme ich nicht auf die richtigen ergbenisse.

17.02.2009, 13:30

klarsoweit

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Mit deinen obiegn Beispielen kann ich nichts anfangen. Vielleciht hast du noch eine andere Aufgabe. In jedem Fall sind

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n]{|c|} \cdot e^{i \cdot \frac{arg(c) + k \cdot 2\pi}{n}} \end{eqnarray*}$ mit k = 0, 1, ..., n-1

Lösungen von $\begin{eqnarray*} z^n = c \end{eqnarray*}$

17.02.2009, 13:40

easyone

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hier mal der link zur aufgabe :

aufgabe 1:

http://www.math2.rwth-aachen.de/~uebung/...l/hm1kl_f02.pdf

und musterlösung :

http://www.math2.rwth-aachen.de/~uebung/...oes_hm1_f02.pdf

17.02.2009, 14:07

klarsoweit

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Streckenweise ist der Lösungweg durch die Brust ins Auge.

Es ist zu lösen: $\begin{eqnarray*} w^3 = - \frac{1}{\sqrt 2} - i \cdot \frac{1}{\sqrt 2} = e^{i \cdot \frac 5 4 \pi} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} w_k = e^{i \cdot (\frac{5}{12} \pi + \frac 2 3 k \pi)} \end{eqnarray*}$ mit k = 0, 1, 2

Das ergibt die gleichen Lösungen wie im Lösungsblatt, allerdings bevorzuge ich Lösungen, wo das Argument im Intervall [0, 2*pi) liegt.

17.02.2009, 14:34

easyone

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langsam blicke ich durch.
aber kannst du mir noch erklären wieso die in der musterlösung für den ersten fall wieder auf
$\begin{eqnarray*} e^{i (-\frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$ kommen und nicht

$\begin{eqnarray*} e^{i (\frac{5\pi}{12})} \end{eqnarray*}$ schreiben?

also wie kann ich den wert von 5/12 pi so senken, dass er im intervall liegt?

17.02.2009, 15:07

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} e^{i (-\frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{i (\frac{5\pi}{12})} \end{eqnarray*}$ sind 2 verschiedene Lösungen. Die erste Lösung entspricht meiner Lösungsdarstellung mit k=2:

$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot (\frac{5 \pi}{12} + \frac{4 \pi}{3})} = e^{i \cdot \frac{21 \pi}{12}} = e^{i \cdot \frac{7 \pi}{4}} = e^{-i \cdot \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: die Musterlösung dient eher dazu, die Leute maximal zu verwirren.

Zitat:

Original von easyone
also wie kann ich den wert von 5/12 pi so senken, dass er im intervall liegt?

Das liegt doch im passenden Intervall, nur nicht die -pi/4.

17.02.2009, 15:13

easyone

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dann hab ich noch eine letzte frage.

wenn ich von $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot (\frac{5 \pi}{12} + \frac{4 \pi}{3})} = e^{i \cdot \frac{21 \pi}{12}} = e^{i \cdot \frac{7 \pi}{4}} = e^{-i \cdot \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray*}$

im letzten schritt von 7/4pi auf pi/4 kommen will muss ich da auf irgendwas besonderes achten oder gilt einfach die regel, das ich ein negatives vorzeichen rausziehe?

17.02.2009, 15:55

klarsoweit

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Wenn man das konjugiert komplexe bildet, dann wird das Vorzeichen umgedreht. Also:

$\begin{eqnarray*} e^{-i \cdot \frac{\pi}{4}} = \overline{e^{i \cdot \frac{\pi}{4}}} \end{eqnarray*}$

17.02.2009, 16:13

easyone

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ich meinte eher den schritt von 7/4pi auf pi/4

17.02.2009, 16:47

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Off-topic: Der besseren Lesbarkeit wegen kann man bei ausladenden Exponententermen (z.B. Brüchen) durchaus auch zur Schreibweise $\begin{eqnarray*} \exp(\mbox{Term}) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} e^{\mbox{Term}} \end{eqnarray*}$ greifen. Augenzwinkern

17.02.2009, 17:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von easyone
ich meinte eher den schritt von 7/4pi auf pi/4

Im ganzen:

$\begin{eqnarray*} exp(i \cdot \frac{7\pi}{4}) = exp(-i \cdot \frac{\pi}{4}) = \overline{exp(i \cdot \frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$

Die erste Umformung gilt, weil man straflos 2*pi vom Winkel abziehen darf. Augenzwinkern

17.02.2009, 19:20

easyone

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ist es nicht in dem fall so, dass ich das minuszeichen ganz vor den term setzten muss?

18.02.2009, 04:31

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} -e^{i\varphi} = e^{i(\varphi + \pi)} \end{eqnarray*}$

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