Beweisproblem rationaler Potenzen

17.02.2009, 14:48

DasTinchen

Beweisproblem rationaler Potenzen

Hallöchen... ich schon wieder... mit einem Beweisproblem...

Das Thema unserer heutigen Sendung lautet... "Wie beweise ich, dass rationale Potenzen wohldefiniert sind?"

Seien n,k $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z, m,l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} \frac{n}{m} = \frac{k}{l} \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{a^n} = \sqrt[l]{a^k} \end{eqnarray*}$ (*)

Soweit so gut.. hierfür habe ich bereits eine Beweis... nur verstehe ich ihn leider mal wieder nicht ganz... aber nun Schritt für Schritt...hier der Beweis

Dies ist klar, falls n=0 und damit auch k=0. Sei also $\begin{eqnarray*} n \neq 0, k \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Ohne Einschränkung können wir $\begin{eqnarray*} n,k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ annehmen, da $\begin{eqnarray*} a^{n}=( \frac{1}{a})^{-n} , a^{k}=(\frac{1}{a})^{-k} \end{eqnarray*}$ .

so... also bis zu diesem Punkt verstehe ich das Ganze auch noch... aber jetzt kommt der Teil des Beweises den ich nicht nachvollziehen kann...

Es ist $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{a^n})^{km} = a^{nk} = (\sqrt[l]{a^k})^{nl} = (\sqrt[l]{a^k})^{km} \end{eqnarray*}$ , da nl =km.

so... genau das verstehe ich nicht... ich mein klar... durch ausklammern und umformen komm ich von einem zum anderen...aber warum machen wir das... und warum genau in dieser Form?

Der Ordnung halber noch der Schluss des Beweises...

Da $\begin{eqnarray*} km \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , folgt nun (*) aus der Eindeutigkeit der km-ten Wurzel.

HILFE ??!!

17.02.2009, 15:09

Himbeer-Toni

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RE: Beweisproblem rationaler Potenzen

Zitat:

Original von DasTinchen
Es ist $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{a^n})^{km} = a^{nk} = (\sqrt[l]{a^k})^{nl} = (\sqrt[l]{a^k})^{km} \end{eqnarray*}$ , da nl =km.

Da haste Dich aber vertippt!

Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} (\sqrt[m]{a^n})^{km} = a^{nk} =\ldots~. \end{eqnarray*}$

17.02.2009, 15:19

DasTinchen

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RE: Beweisproblem rationaler Potenzen
Oh... stimmt... danke für den Hinweis...

... allerdings ändert das leider nichts an meinem Problem unglücklich

17.02.2009, 18:58

Leopold

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Sind Potenzen gleich und ihre Exponenten auch, so müssen auch die Basen übereinstimmen.

Dieser Satz stimmt unter einer wichtigen Zusatzvoraussetzung. Und dein Beweis kümmert sich um alles Mögliche, nur nicht um diese Zusatzvoraussetzung. Welche meine ich nämlich?

Und dann wendest du diesen Satz an - und der Beweis ist fertig.
Was übrigens "ohne Einschränkung n,k>0" bringen soll, verstehe ich nicht. Die Argumentation geht doch kein bißchen anders, wenn man darauf verzichtet. verwirrt

17.02.2009, 19:30

DasTinchen

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Danke dass das auch schon mal jemandem auffällt. Freude

Der Beweis stammt nicht von mir ... sondern von meinem Prof.
... und bei dem habe ich verdammt oft das Problem, dass ich garnicht weiss, was er sich da zusammenbeweist.

... und ja... bis auf den einen Schreibfehler... ist er korrekt aus dem Skript abgetippt...

... bin echt am verzweifeln.

Wie könnte man den Spass denn noch beweisen... denn so verstehe ich den Beweis nicht.

17.02.2009, 20:21

Leopold

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Gehen wir von zwei Brüchen mit positiven Nennern aus, die denselben Wert besitzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{m} = \frac{k}{l} \end{eqnarray*}$

Das ist gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} km = nl \end{eqnarray*}$

Ohne den Beweis wesentlich zu ändern, schreibe ich die Sache doch etwas suggestiver auf. Zunächst einmal gebe ich den beiden Seiten der zu beweisenden Gleichung eigene Namen:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[m]{a^n} \, , \ \ y = \sqrt[l]{a^k} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet es nun, $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te oder $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ -te Wurzel zu sein? Nun, daß die $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te ( $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ -te) Potenz des Ergebnisses den Radikanden ergibt:

$\begin{eqnarray*} x^m = a^n \, , \ \ y^l = a^k \end{eqnarray*}$

Und nun kommt Trick 17: Wir erheben die erste Gleichung in die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te und die zweite in die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz. Der Sinn dieser Operation ist, daß nach einem Potenzgesetz die rechten Seiten gleich sind:

$\begin{eqnarray*} x^{km} = a^{nk} \, , \ \ y^{nl} = a^{nk} \end{eqnarray*}$

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} x^{km} = y^{nl} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} km = nl \end{eqnarray*}$ ins Spiel. Was folgt gemäß dem kursiv gesetzten Satz meines ersten Beitrags?

Aber wieder habe ich die ganze Zeit unausgesprochen eine Bedingung an $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gestellt. Denn nur dann funktionieren sämtliche Definitionen und Schlüsse ohne Einschränkung. Welche wichtige Bedingung ist das?

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