Schnittpunkt zweier geraden |
| 17.02.2009, 15:38 | Barracuda81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Schnittpunkt zweier geraden ich hab ein (mir sehr seltsames) Problem. Es geht darum, das ich den Schnittpunkt zweier Geraden im Raum berechnen möchte. Per Definition liegen die Geraden in einer Ebene und schneiden sich in einem Punkt SP. Um genau zu sein, sind sie Tangenten an einem Kreis. g1:= a+t*na (a ist der Vektor zum Punkt A und na ist der normierte Vektor der Geraden, t ist ein Parameter) g2:= b+s*nb (b ist der Vektor zum Punkt B und nb ist der normierte Vektor der Geraden, s ist ein Parameter) Punkt A bzw. Punkt B sind die Punkte an denen die Geraden den Kreis berühren. Das kann man natürlich schön umschreiben: 3 Gleichungen 2 Unbekannte: 1. ax+t*nax=bx+s*nbx 2. ay+t*nay=by+s*nby 3. az+t*naz=bz+s*nbz Soweit so gut. Zum Lösen des Gleichungssystems: Ich multipliziere 1. mit nby und 2. mit nbx - anschließend ziehe ich sie voneinander ab um t zu berechnen: 4. t=((ax-bx)*nby-(ay-by)*nbx)/(nay*nbx-nax*nby) Weil ich mit den NORMIERTEN Vektoren na und nb rechne müsste t bzw. s theoretisch der Abstand zwischen den Punkten A bzw. B und dem Schnittpunkt sein. Genauer gesagt müssten sie sogar gleich groß sein. Alles super dachte ich... machste einfach s=t wieder in die Gleichungen 1. 2. oder 3. so daß: 5. ax+t*nax=bx+t*nbx 6. ay+t*nay=by+t*nby 7. az+t*naz=bz+t*nbz und 8. t=(ax-bx)/(nbx-nax) usw. aaaaber.... Pustekuchen... mittlerweile habe ich einige Werte bei denen dies nicht funktioniert. Woran kann das liegen??? Hilfe? Bin ich zu dumm nen Gleichungssystem zu lösen? PS: Ich hab eben erst den Formeleditor entdeckt... bitte verzeiht mir, dass ich ihn nicht gleich genutzt habe. |
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| 17.02.2009, 16:05 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier geraden einfacher wäre es für uns, wenn du die aufgabe samt konkreten angaben (was isr gegeben, was gesucht etc.) schicktest 
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| 17.02.2009, 16:24 | Barracuda81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier geraden Mit konkreten Angaben wärs ja einfach... aber gut, sei's drum a=\begin{pmatrix} 3331,967 \\ -1375,197 \\ -1163,998 \end{pmatrix} na=\begin{pmatrix} -0,789027 \\ 0,614358 \\ 0 \end{pmatrix} b=\begin{pmatrix} 3245,66 \\ -1307,996 \\ -1100,538 \end{pmatrix} nb=\begin{pmatrix} -0,39163 \\ 0,304934 \\ 0,868125 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ax \\ ay \\ az \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} nax \\ nay \\ naz \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} bx \\ by \\ bz \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} nbx \\ nby \\ nbz \end{pmatrix} nach Formel 4 komm ich auf ein t von 81,870312 nach Formel 5 und 6 komm ich auf ein t von -217,1808 mit gesundem Menschenverstand und den restlichen Formeln komm ich auf 73,100072 (was nebenbei bemerkt auch richtig ist. Im Anhang ist eine Übersicht (ich hasse Paint!)... |
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| 17.02.2009, 16:39 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier geraden das hast du mißverstanden, konkrete zahlen braucht man nicht. wie ist denn sicher gestellt, dass der ganze krempel in einer ebene liegt, so etwas wollte ich wissen. das scheint nämlich für dein beispiel - auf die schnelle - nicht zuzutreffen 
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| 17.02.2009, 17:59 | Barracuda81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Schnittpunkt zweier geraden Achso.... ja, gutes Argument... also die Ebene liegt schief im Raum - soll heißen es ist keine xy-, yz- oder xz-Ebene (zumindestens in den meisten fällen). Die Ebene kann durch die Vektoren na und nb und einem der Punkte aufgespannt werden. In der Ebene liegen beide Punkte. Konkrete Zahlen benötige ich eigentlich auch nich, da diese letztendlich eh in Excel für mehrere Werte ausgerechnet werden sollen. Das ganze hab ich in Catia konstruiert, weshalb ich auch versichern kann, dass alles in einer Ebene liegt und dementsprechend auch das Ergebnis konstruktiv nachprüfen kann... ich hätte es halt bloß gern mathematisch berechnet. |
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| 17.02.2009, 18:28 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Schnittpunkt zweier geraden
du kannst sicher sein, dass mir der begriff der ebene halbwegs vertraut ist.
die punkte/ das konstrukt in deinem beispiel oben liegen/ liegt nicht in einer ebene, egal womit du sie/ es konstruiert hast 
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| 17.02.2009, 20:52 | Barracuda81 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Schnittpunkt zweier geraden Okay, mal abgesehen von Rundungsfehlern, wie kommst du darauf, das die Punkte und die zwei Vektoren nicht in einer Ebene liegen?
Gut, aber das ist ja auch nur ein Beispiel... wie würdest du denn die Aufgabe lösen. Gegeben sind zwei Punkte in auf einem Kreis im 3d-Raum. Von den Punkten gehen Geraden entlang der Tangenten durch den Raum und schneiden sich per Definition auch dementsprechend. Wie groß ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden und einem der Punkte? |
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| 18.02.2009, 10:11 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Schnittpunkt zweier geraden
in deinem beispiel liegen keine rundungsfehler vor sondern der fehler der z-komponente von B beträgt rund 6%
na wie werde ich da wohl darauf kommen: ich habe die gleichung der ebene aufgestellt und dann den punkt B eingesetzt.
das ist viel zu diffus. wie sind denn die 2 punkte auf dem kreis definiert, wie ist der kreis gegeben
was sind geraden entlang von tangenten
was soll denn das bedeuten: sie schneiden sich per definition
wenn du den mittelpunkt des kreises, seinen radius und den schnittpunkt gegeben hast - sozusagen per definitinem
kannst du den gesuchten abstand ganz einfach mit hilfe des pythagoras berechnen.wenn du allerdings nur die 3 punkte A, B und M sowie den radius r gegeben hast, (wobei sicher gestellt ist, dass A und B tatsächlich auf K und nicht auf einer geraden durch M liegen, mußt du zunächst die tangenten in der ebene E(A,B,M) aufstellen und schneiden, was vektoriell nicht allzu schwierig ist, anschließend bestimmst du S, weiter wie oben.
tangentengleichung an A: |
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