Dreieck , Vektor-Schwerpunkt Beweis

17.02.2009, 17:28

Rudi

Dreieck , Vektor-Schwerpunkt Beweis

Hi Leute ,

ich soll folgendes Zeigen:

In jedem Dreieck ist die Summe der drei Vektoren von den Ecken zum Schwerpunkt gleich dem Nullvektor.

Also wenn ich ein Dreieck habe ABC mit $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=a,\vec{BC}=b,\vec{CA}=c \end{eqnarray*}$

Dann ist der Nullvektor ja $\begin{eqnarray*} \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

Der Schwerpunkt eines Dreiecks befindet sich ja im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden , diesen Punkt nenne ich mal S

Nun soll ich doch das zeigen : $\begin{eqnarray*} \vec{AS} +\vec{BS}+ \vec{CS}= \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

oder verstehe ich was falsch ?

17.02.2009, 17:49

Bjoern1982

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Hallo,

Zitat:

Der Schwerpunkt eines Dreiecks befindet sich ja im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden

Das stimmt nicht, schau dir nochmal die Definition an.

Zitat:

Nun soll ich doch das zeigen : $\begin{eqnarray*} \vec{AS} +\vec{BS}+ \vec{CS}= \vec{a}+ \vec{b}+ \vec{c}= \vec{0} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja, dafür könnte die Kenntnis über die allgemeinen Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks helfen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunkt...er_Fl.C3.A4chen

Gruß Björn

17.02.2009, 17:54

Rudi

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achso , also ist S der Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden

17.02.2009, 18:10

Rudi

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Aber wie mache ich nun weiter ? Also ich habe mal 3 neue Punkte eingefügt D,E,F das sind jeweils die Punkte auf den Seitenhälften !

Damit habe ich erstmal die Seitenhalbierenden mit a b und c ausgedrückt .. aber ob mich das weiter bringt ..

17.02.2009, 18:34

Bjoern1982

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Ich habe dir ja einen Link angehängt.
Dieser sollte dir verdeutlichen, dass man die Koordinaten von S durch die Koordinaten von A,B und C ausdrücken kann.

Deine Vektoren AS,BS und CS kannst du ja damit aufstellen, wodurch alles nur noch von den Koordinaten von A,B und C abhängt, und wenn die Behauptung oben stimmt, dann sollte sich durch die Addition dieser Vektoren alles aufheben.

17.02.2009, 18:43

Leopold

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Am einfachsten und mit umfassendstem Resultat geht das so.

1. Zu den Ecken $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ eines Dreiecks definierst du mit Hilfe eines weiteren Punktes $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ den Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ durch die Vektorgleichung

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ \overrightarrow{OS} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right) \end{eqnarray*}$

2. Diese Definition des Punktes $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ verwendet den Punkt $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ , ist also scheinbar von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ abhängig. Man kann nun aber zeigen, daß die Definition in Wahrheit unabhängig von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ ist. Dazu denkt man sich einen weiteren Punkt $\begin{eqnarray*} O' \end{eqnarray*}$ , von dem aus man die analoge Konstruktion durchführt und zu einem Punkt $\begin{eqnarray*} S' \end{eqnarray*}$ gelangt. Indem man in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{O'O} \end{eqnarray*}$ addiert, gelangt man nach kurzer Rechnung zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{O'S} = \overrightarrow{O'S'} \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} S=S' \end{eqnarray*}$ impliziert. (Das ist übrigens das Prinzip, nach dem allgemein baryzentrische Koordinaten funktionieren.)

3. Die Unabhängigkeit der Konstruktion von der Wahl des Punktes $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ erlaubt einem nun, $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ zu spezialisieren. Die Wahl von $\begin{eqnarray*} O = M_a \end{eqnarray*}$ (Mittelpunkt der Seite $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ ) in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ liefert sofort $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{M_aS} = \frac{1}{3} \overrightarrow{M_aA} \end{eqnarray*}$ , was nicht nur zeigt, daß $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auf der Seitenhalbierenden $\begin{eqnarray*} M_aA \end{eqnarray*}$ liegt, sondern auch gleich das bekannte Teilverhältnis liefert. Und genau so geht das mit den anderen Seitenhalbierenden. Und die Spezialisierung von $\begin{eqnarray*} O=S \end{eqnarray*}$ ergibt ...

Und das alles funktioniert ohne ein umgebendes Koordinatensystem. Außer den Grundregeln der Vektoraddition und skalaren Multiplikation sowie der Regel von Chasles wird nichts benötigt (nicht einmal eine Zeichnung, obwohl man Geometrie niemals ohne Zeichnung machen sollte).

17.02.2009, 18:52

Rudi

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Also muss ich eig. eine Pyramide betrachten , die Eckpunkte der Grundfläche sind ABC oben die Spitze ist O und die Strecken OA OB und OC sind jeweils Vektor a b und c oder ?

Aber wie kommt man dann auf OS = 1/3 (....) oder Stellt man dies auf bzw. kann man dies nur aufstellen , wenn man die Regel für den Schwerpunkt kennt ?

Wie komme ich von O nun S

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