reihen konvergenz

17.02.2009, 18:47

butterfliege

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reihen konvergenz

ich rechne gerade eine altklausur und weiß bei paar reihen nicht richtig weiter.
wäre über lösungsweg und entsprechenden erklärungen dankbar!

zu untersuchen sind die reihen auf konvergenz

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^k * k-te \sqrt{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

und folgende reihe, hab ich ein glied nach oben u unten abgeschätzt, so dass diese reihe gegen 0 konvergiert. ist das richtig kann man das so machen?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~(1- \frac{1}{k} )^(k^2) \end{eqnarray*}$ wobei ich das k=2 nicht weiter beachtet habe.

so und dann sollte man die summe einer reihe berechnen, wo ich nu nich weiter weiß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-1}^\infty~(-1^{k+2} ) * 2^{k-2} * 3^{-k+1} \end{eqnarray*}$

das habe ich umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} (-\frac{9}{2}) \sum_{k=0}^\infty~(-1)^k * ( \frac{2}{3})^k \end{eqnarray*}$

das (2/3)^k ist ja ne geom reihe, damit hab ich kein problem den wert zubestimmen, aber was mach ich mit der -1? ist ja alternierend?

17.02.2009, 22:50

MI

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RE: reihen konvergen
Dann fangen wir mal vorne an:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^k * k-te \sqrt{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

Was genau hast du denn hier schon gemacht?
Wenn ich mir die Reihe so anschaue, dann dürfte es möglich sein, mit dem notwendigen Konvergenzkriterium zu argumentieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~(1- \frac{1}{k} )^(k^2) \end{eqnarray*}$ wobei ich das k=2 nicht weiter beachtet habe.

Meinst du die Reihe so?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\left(1- \frac{1}{k} \right)^{k^2} \end{eqnarray*}$
Die Reihe wolltest du abschätzen, richtig?
Da bietet sich aber doch eines der Konvergenzkriterien für Reihen an. Und dann sollte einem eigentlich eine bestimmte Zahl ins Auge springen.
Die k=2 spielt für die Konvergenz keine Rolle, das stimmt - nur für den Grenzwert, aber der ist nicht gefragt, oder?

Gruß
MI

18.02.2009, 11:59

butterfliege

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RE: reihen konvergenz
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^k * k-te \sqrt{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

also hier hab ich mir gedacht, mit dem leibnitzkriterium zu argumentieren, da 1/k eine nullfolge und monoton fallend und (-1) alternieren.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\left(1- \frac{1}{k} \right)^{k^2} \end{eqnarray*}$

welches konvergenzkriterium meinst du denn?
meinst du dass ich k² auch als k*k schreiben kann und dann mit dem wurzelkriterium dann stehen hab $\begin{eqnarray*} \mid (1- \frac{1}{k})^k \mid \end{eqnarray*}$ und das ist dann ja
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ und somit<1 u damit konvergent richtig?

nein der grenzwert war hier nicht gefragt, es war nur auf konvergenz zu untersuchen.
kannst mir bei der berechnung der reihe weiterhelfen?
Lg

18.02.2009, 12:25

klarsoweit

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RE: reihen konvergenz

Zitat:

Original von butterfliege
also hier hab ich mir gedacht, mit dem leibnitzkriterium zu argumentieren, da 1/k eine nullfolge und monoton fallend und (-1) alternieren.

1/k mag ja eine Nullfolge sein. Aber auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac 1 k} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von butterfliege
meinst du dass ich k² auch als k*k schreiben kann und dann mit dem wurzelkriterium dann stehen hab $\begin{eqnarray*} \mid (1- \frac{1}{k})^k \mid \end{eqnarray*}$ und das ist dann ja
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ und somit<1 u damit konvergent richtig?

Im Prinzip richtig. Du solltest aber sagen, daß $\begin{eqnarray*} \mid (1- \frac{1}{k})^k \mid \end{eqnarray*}$ gegen 1/e konvergiert. Dasselbe wie 1/e ist es nicht.

18.02.2009, 12:39

butterfliege

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Zitat:

Original von klarsoweit
[quote]Original von butterfliege
also hier hab ich mir gedacht, mit dem leibnitzkriterium zu argumentieren, da 1/k eine nullfolge und monoton fallend und (-1) alternieren.

1/k mag ja eine Nullfolge sein. Aber auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac 1 k} \end{eqnarray*}$ ?

ja das war dann mein problem.... ist ktewurzel von k =1??

18.02.2009, 12:48

Cordovan

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Zitat:

... ist ktewurzel von k =1??

Nein. Aber das kannst du selber im Kopf rechnen: was kommt denn für $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ raus? Bestimmt nicht 1.

Cordovan

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18.02.2009, 12:50

butterfliege

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gut aber wie mach ich dass denn nun bei dieser folge?

18.02.2009, 13:53

klarsoweit

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Was müssen denn die Summanden einer Reihe machen, damit die Reihe überhaupt in den Verdacht geraten kann, daß sie konvergiert (= notwendiges Konvergenzkriterium) ?

18.02.2009, 14:49

butterfliege

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gegen null konvergieren?

18.02.2009, 15:14

klarsoweit

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Genau! Und ist das hier der Fall?

18.02.2009, 15:38

butterfliege

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1/k ja, für ktewurzel würd ich auch sagen,
u da alternierend u monotonfallend....konvergent

18.02.2009, 15:47

klarsoweit

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Was macht dich so sicher, daß die k-te Wurzel aus 1/k gegen Null konvergiert? Einfach nur der hohle Bauch? Das ist ein bißchen wenig. unglücklich

unglücklich

18.02.2009, 15:51

butterfliege

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das ist ja gerade mein problem!

18.02.2009, 15:59

klarsoweit

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Dann schärfen wir jetzt mal die Sinne und überlegen, wogegen die k-te Wurzel aus k konvergiert. Ein relativ bequemer Weg ist die Umformung

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k} = e^{\frac 1 k \cdot ln(k)} \end{eqnarray*}$

Jetzt braucht man sich nur noch Gedanken über die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac 1 k \cdot ln(k) \end{eqnarray*}$ machen. smile

smile

19.02.2009, 09:02

butterfliege

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1/k *lnk geht doch gegen 0 oder? u dann hab ich e^0 u das ist 1??

also müsste ja die reihe dann unbestimmt divergent sein...

19.02.2009, 09:51

klarsoweit

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Ja.

19.02.2009, 14:48

butterfliege

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gut danke. smile

smile

hab hier wieder zwei reihen.... ahhhh

also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ (-1)^k * \frac{1}{(k(k+1)(k+2))} \end{eqnarray*}$

reicht das Wurzelkriterium hier aus um die absolute konvergenz zu zeigen?

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{\sqrt{((k²+1)(k+2))}} \end{eqnarray*}$

mit welchen kriterium geht man hier am besten heran um die absolute konvergenz zu zeigen?

19.02.2009, 15:35

klarsoweit

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zu 1: bei gebrochen rationalen Summanden hilft weder das Wurzelkriterium noch das Quotientenlkriterium. Da es sich um eine alternierende Reihe handelt, liegt das Kriterium quasi auf der Hand.

zu 2: finde eine konvergente Majorante.

19.02.2009, 17:38

Cordovan

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Häufig hilft auch eine Partialbruchzerlegung.

Cordovan

19.02.2009, 17:45

butterfliege

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zu 1) du meinst leibnitz oder? aber das sagt doch nur obs konvergent ist und nicht die absolute konvergenz?

wie finde ich die denn bei einer wurzelfunktion? ich weiß es nicht...

19.02.2009, 18:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von butterfliege
zu 1) du meinst leibnitz oder? aber das sagt doch nur obs konvergent ist und nicht die absolute konvergenz?

OK, ich habe das Wörtchen "absolut" überlesen. Nimm also den Absolutbetrag und finde eine konvergente Majorante.

Zitat:

Original von butterfliege
wie finde ich die denn bei einer wurzelfunktion? ich weiß es nicht...

Laß doch mal störende Summanden weg. Was passiert dann?

19.02.2009, 18:33

butterfliege

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von butterfliege
zu 1) du meinst leibnitz oder? aber das sagt doch nur obs konvergent ist und nicht die absolute konvergenz?

OK, ich habe das Wörtchen "absolut" überlesen. Nimm also den Absolutbetrag und finde eine konvergente Majorante.

kann ich das majorantenkrit. denn bei alternierenden reihen anwenden??

Zitat:

Original von butterfliege
wie finde ich die denn bei einer wurzelfunktion? ich weiß es nicht...

Laß doch mal störende Summanden weg. Was passiert dann?

meinst du damit ich soll die wurzel erstmal außer acht lassen? dann wäre ja meine majorante relativ leicht zu finden. u kann ich dann folgern das meine reihe ohne wurzel dank der majorante konvergent ist und da sie größer ist als meine reihe mit wurzel, sprich also dann sie majorante ist?

19.02.2009, 18:42

eierkopf1

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Du kannst die Wurzelfunktion nicht einfach weglassen, wenn du eine Majorante suchst:

19.02.2009, 19:05

butterfliege

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kann mir denn einer beim finden helfen? ich weiß es jetzt gerade echt nicht....

19.02.2009, 19:06

eierkopf1

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Multipliziere unter der Wurzel aus und dann:

Zitat:

Original von klarsoweit
Laß doch mal störende Summanden weg. Was passiert dann?

20.02.2009, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von butterfliege
kann mir denn einer beim finden helfen? ich weiß es jetzt gerade echt nicht....

Meine Güte, ist das so schwer? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{((k^2+1)(k+2))}} \leq \frac{1}{\sqrt{k^2 \cdot k}} \end{eqnarray*}$

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