Gauss Quadratur

18.02.2009, 08:56	Juline	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss Quadratur So bin zum 3ten mal durch Numerik gefallen, dabei habe ich 2 Monate gelernt wi ne blöde. Die Aufgabe war recht simpel, also Gib ne 2-stufige Gauss-QF (maximaler Ordnung) an, zur Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray} w(t) = t^{2} \end{eqnarray}$ , dabei ist schon gegeben: $\begin{eqnarray} c_{2}=1 \end{eqnarray}$ Naja also habe ich zuerst angefangen eine Basis aus ON Polynomen zu bauen, nach dem 3ten wurde es zu kompliziert und ich hab aufgegeben, also ran an die Ordnungsbedingungen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~x^{2}~dx = b_{1} + b_{2} = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~x^{3}~dx = b_{1}c_{1} + b_{2} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~x^{4}~dx = b_{1}c_{1}^{2} + b_{2} = \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ So und jetzt biss sich die Katze in den Schwanz und NIX geht mehr. RIEN NE VA PLUS. In aller verzweiflung habe ich einfach gerechnet $\begin{eqnarray} \frac{b_{1}c_{1}^{2} + b_{2} }{b_{1}c_{1} + b_{2} } = \frac{4}{5} \end{eqnarray}$ , und einfach rumgekürzt bis c1 rauskam, ist aber sicherlich falsch gell? Na super, jetzt werde ich höchstwahrscheinlich Verkäuferin im Discounter.
18.02.2009, 18:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauss Quadratur Dumm ist, dass du nicht hingeschriebn hast, was b und c sind. Wir kennen eure Bezeichnungen nicht. Ich beziehe mich auf meinen WS.[WS] Numerische Integration -Theorie 2 Stufig heißt für mich, 2 Knoten $\begin{eqnarray} x_0,x_1 \end{eqnarray}$ , also n=1. Daher müssen wir die maximale Ordnung $\begin{eqnarray} 2\cdot 1 +2 = 4 \end{eqnarray}$ erreichen, d.h. alle Polynome bis zum Grad 3 müssen exakt integriert werden. Ich kann nun nur raten, dass b die Gewichte sind und c die Knoten. Bei mir dann also $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_{0} + w_{1} = \frac{1}{3} = \int_{0}^{1}~x^{2}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_{0}\cdot x_{0} + w_1\cdot 1 = \frac{1}{4}= \int_{0}^{1}~x^{3}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_{0}\cdot x_{0}^{2} + w_{1}\cdot 1^2 = \frac{1}{5}= \int_{0}^{1}~x^{4}~dx \end{eqnarray}$ Also was du da gekürzt haben willst, will ich besser gar nicht wissen. Wir haben 3 Gleichungen, für 3 Unbekannte. Allerdings sind es keine linearen Gleichungen. Wir müssen also einen kleinen Trick bemühen. $\begin{eqnarray} w_{1} = \frac{1}{3} - w_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_{0}\cdot x_{0} = \frac{1}{4} - w_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Bigl(w_{0}\cdot x_{0}\Bigr) \cdot x_0 = \frac{1}{5} - w_1 \end{eqnarray}$ Kannst du es nun lösen? P.S.: Kannst du die Prüfung dieses Semester noch wiederholen?
18.02.2009, 21:49	Juline	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Tiegerbiene, danke für deine Antwort. Hast das richtig interpretiert, b sind die Gewichte, und c sind die Knoten. Genau so wie du habe ich es ja auch gemacht, aber in dem LGS aus 3 Gleichungen unten komme ich einfach nicht auf die Lösung. Scheint so als wäre eine Unbekannte zuviel in dem LGS. Ich werde nochmal probieren und meld mich dann. juli
19.02.2009, 10:01	tigerbine_off	Auf diesen Beitrag antworten »
Puzzeln wir mal. $\begin{eqnarray} w_{0} = \frac{1}{3} - w_1 \end{eqnarray}$ Das setzen wir in 2 ein. $\begin{eqnarray} (\frac{1}{3} - w_1)\cdot x_{0} = \frac{1}{4} - w_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=\frac{ \frac{1}{4} - w_1}{\frac{1}{3} - w_1} \end{eqnarray}$ Und die Alte Darstellung nicht vergessen. $\begin{eqnarray} w_{0}\cdot x_{0} = \frac{1}{4} - w_1 \end{eqnarray}$ Damit können wir hier alles rausschmeissen. $\begin{eqnarray} \Big(\frac{1}{4} - w_1\Bigr) \cdot \frac{ \frac{1}{4} - w_1}{\frac{1}{3} - w_1} = \frac{1}{5} - w_1 \end{eqnarray}$ Das sieht schlimmer aus, als es ist. $\begin{eqnarray} \Big(\frac{1}{4} - w_1\Bigr)^2 = (\frac{1}{5} - w_1)(\frac{1}{3} - w_1) \end{eqnarray}$ Das ist eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ und da gibt es ja Lösungsformeln. Kennen wir die Lösungen, können wir sofort die anderen Größen berechnen.

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