Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades

18.02.2009, 10:49

kanarienvogel78

Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades

Hallo :-)

Ich soll beweisen dass für ganzrationale Funktionen 2. Grades die Stelle a des Mittelwertsatzes der Mittelpunkt des betrachteten Intervalls ist.

Bisher bin ich immerhin darauf gekommen, dass an der Stelle a die Ableitung f' denselben Wert wie die Tangente durch (x_1 / f(x_1)) und (x_2 / f(x_2) annehmen muss, also $\begin{eqnarray*} \frac {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$ , und das ist der Fall an der Stelle $\begin{eqnarray*} a = \frac {x_1 + x_2} {2} \end{eqnarray*}$ , also dem Mittelpunkt des Intervalls.

Wenn ich für die x- und f(x)- Werte Zahlen einsetze, dann funktioniert es, also kann das nicht ganz verkehrt sein, aber wie führt man jetzt den allgemeinen Beweis?

Danke :-)

18.02.2009, 11:05

Jacques

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Hallo,

Eine quadratische Funktion hat allgemein die Form

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \mapsto ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

Du sollst jetzt einfach nachweisen, dass

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \right) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$

gilt.

Berechne allgemein die Ableitungsfunktion, ermittle dann f'((x1 + x2)/2) und zeige, dass dies mit der Steigung der o. g. Sekante übereinstimmt.

18.02.2009, 12:28

kanarienvogel78

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Mittelwertsatz der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades
Hallo :-)

Erstmal vielen Dank für Deine Antwort, aber ich so ganz steige ich da leider immer noch nicht durch.

Allgemeine Ableitungsfunktion f' = 2ax + b, und dann den Wert für (x1 + x2) / 2 ermitteln; soweit kapiert, und vermutlich ist das auch ganz simpel, aber wie fange ich da wo an??

(x1 + x2) / 2 = x, oder vielleicht doch gleich a, und was mache ich mit dem b???

18.02.2009, 12:35

Jacques

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a und b sind einfach Stellvertreter für konkrete Zahlen. Du willst ja den Satz allgemein für alle quadratischen Funktionen beweisen, deswegen legst Du die Faktoren nicht zahlenmäßig fest, sondern lässt sie quasi offen. Oder anders formuliert: Du betrachtest die „Grundform“ einer quadratischen Funktion, a und b sind dabei Platzhalter.

f' hast Du korrekt ermittelt:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(x) = 2ax + b \end{eqnarray*}$

Jetzt berechnest Du f'((x1 + x2)/2), indem Du diesen Term einfach für x einsetzt. Wenn Du f'(2) berechnen wolltest, dann würdest Du ja auch x durch 2 ersetzen.

18.02.2009, 15:22

kanarienvogel78

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades
Hallo und nochmal danke, aber das Brett vorm Kopf ist immer noch nicht weg.

Den Term (x1 + x2) / 2 anstelle von x in die allgemeine Ableitung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} 2a \frac {x_1 + x_2} {2} + b \end{eqnarray*}$

Da kommt bei mir raus: a (x1 + x2) + b, und das hat für mich irgendwie immer noch überhaupt keine Ähnlichkeit mit dem erwüschten Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$ - ???

18.02.2009, 16:33

Jacques

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades

Zitat:

Original von kanarienvogel78

Da kommt bei mir raus: a (x1 + x2) + b, und das hat für mich irgendwie immer noch überhaupt keine Ähnlichkeit mit dem erwüschten Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac {f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$ - ???

Du sollst f(x1) und f(x2) ja auch noch durch die konkreten Terme ersetzen:

f(x) = ax² + bx + c. Also f(x1) = ? und f(x2) = ?

18.02.2009, 19:27

kanarienvogel78

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades
Die Sache wird mir immer rätselhafter, und ich bin jetzt so komplett verwirrt, dass ich nicht mal mehr weiß, was ich noch halbwegs Intelligentes fragen könnte :-(

Also f = ax² + bc + c,
und folglich f(x1) = ax1² + bx1 + c
und f(x2) = ax2² + bx2 + c

Und was stelle ich jetzt damit an? f' ausrechnen? Wie bringe ich diese f(x1) und f(x2) mit (x1 + x2) /2 in Verbindung?

19.02.2009, 04:52

Jacques

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Gehe am besten kurz nochmal auf die Eingangsfrage zurück:

Man soll beweisen, dass für jede quadratische Funktion f der folgende Zusammenhang gilt: Betrachtet man irgendein (nichtleeres) Intervall [x1; x2], dann ist die Tangentensteigung von f im Mittelpunkt des Intervalls exakt so groß wie die Steigung der Sekante durch die Randpunkte des Intervalls.

Oder formelmäßig aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}\underbrace{\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)}_{\textrm{Mittp. d. Interv.}} = \underbrace{\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}}_{\textrm{Steigung der Sek.}} \end{eqnarray*}$

Du könntest jetzt testweise bestimmte quadratische Funktionen betrachten, was Du ja auch schon getan hast. Beispielsweise die Funktion f mit f(x) = 3x² + 4x + 2:

f'(x) ist 6x + 4, also

$\begin{eqnarray*} f^{\prime} \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) = 6 \cdot \frac{x_1 + x_2}{2} + 4 = 3(x_1 + x_2) + 4 \end{eqnarray*}$

f(x) ist 3x² + 4x + 2, also

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{3x_2^2 + 4x_2 + 2 - \left(3x_1^2 + 4x_1 + 2 \right)}{x_2 - x_1} = \frac{3x_2^2 + 4x_2 + 2 - 3x_1^2 - 4x_1 - 2}{x_2 - x_1} = \frac{3x_2^2 - 3x_1^2 + 4x_2 - 4x_1}{x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3 \left(x_2^2 - x_1^2 \right) + 4 \left(x_2 - x_1 \right) }{x_2 - x_1} = \frac{(x_2 - x_1) \left[ 3(x_2 + x_1) + 4 \right]}{x_2 - x_1} = 3(x_2 + x_1) + 4 = 3(x_1 + x_2) + 4 \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche dieses Ergebnis mit der oben berechneten Tangentensteigung im Mittelpunkt: Beides ist dasselbe! In beiden Fällen hast Du 3(x1 + x2) + 4. Also stimmt der Satz zumindest bei dieser konkreten Funktion.

Das ist aber noch kein allgemeiner Beweis, weil die Gültigkeit noch nicht für jede quadratische Funktion nachgewiesen wurde.

Um das zu tun, musst Du quasi „die abstrakte quadratische Funktion“ betrachten, bei der die Faktoren vor x² und x und der konstante Summand nicht zahlenmäßig festgelegt sind, sondern offen bleiben:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \mapsto ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

a, b und c sind Stellvertreter für reelle Zahlen. Die Funktion f ist also quasi der „Repräsentant“ aller quadratischen Funktionen.

Jetzt berechnest Du genau wie oben wieder f'((x1 + x2)/2) sowie (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1):

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}\left(\frac{x_1 + x_2}{2} \right) = 2a \cdot \frac{x_1 + x_2}{2} + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{ax_2^2 + \ldots}{x_2 - x_1} = \ldots \end{eqnarray*}$

Anschließend vergleichst Du die beiden Terme miteinander. Es sollte sich auch diesmal bei beidem dasselbe ergeben!

Wenn das tatsächlich der Fall ist, hast Du allgemein bewiesen: Bei jeder quadratischen Funktion ist die Tangentensteigung im Mittelpunkt eines (nichtleeren) Intervalls exakt so groß wie die Steigung der Sekante durch die Randpunkte.

19.02.2009, 10:25

kanarienvogel78

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Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades
Herzlichen Dank erstmal :-)

Den allgemeinen Nachweis habe ich jetzt hinbekommen und weiß auch in etwa, wo mein Denkfehler lag.

Aber eine Frage hätte ich noch:

Wie kommst Du bei Deiner Modellrechnung im Zähler auf die Umformung

$\begin{eqnarray*} \frac {3 (x_2^2 - x_1^2) + 4 (x_2 - x_1)} {x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {(x_2 - x_1) [3(x_2 + x_1) + 4]} {x_2 - x_1} \end{eqnarray*}$ ?

19.02.2009, 11:27

kanarienvogel78

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades
Bin grade selbst drauf gekommen (Eingebung beim Putzen ;-))

Du hast den quadratischen Term mit der Binomischen Formel auseinandergeommen und dann (X1 - x2) ausgeklammert, richtig?

19.02.2009, 14:21

Jacques

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RE: Mittelwertsatz der Differentialrechung bei ganzrationalen Funktionen 2. Grades

Zitat:

Original von kanarienvogel78

Du hast den quadratischen Term mit der Binomischen Formel auseinandergeommen und dann (X1 - x2) ausgeklammert, richtig?

Ganz genau. Freude

13.11.2010, 14:21

Carminaloca

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binom
also ich versteh den schritt immer noch nicht, da fällt doch irgendwie eine komponente des binoms einfach unter den tisch?

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