Wie kann man einen Körperbeweis verkürzen?

18.02.2009, 10:17	congo.hoango	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann man einen Körperbeweis verkürzen? Also, hatte gestern meine Klausur. Ich hatte so ein immenses Zeitproblem mit einer Aufgabe, in der es darum ging, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} K= \begin{pmatrix} a & b \\ b & a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (mit a,b aus Z) ein Körper bezüglich der gewöhnlichen Matrizenaddition/-multiplikation ist. Habe fast 2 Stunden an der Aufgabe gesessen, weil das so unsagbar viel Schreibarbeit ist. Gibt es da irgendeinen Trick, sodass ich nicht alles so ausführlich zeigen muss? Ich hatte da teilweise Matrizen über die ganze Breite meines Blattes zu stehen... ---------------- Nehmen wir mal die Kommutativität bezüglich der Multiplikation als Beispiel: Behauptung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a+b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c & d \\ d & c+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ d & c+d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ b & a+b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & a+b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c & d \\ d & c+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+bd & ad+bc+bd \\ bc+ad+bd & bd+ac+ad+bc+bd \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c & d \\ d & c+d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ b & a+b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ca+db & cb+da+db \\ da+cb+db & db+ca+cb+da+db \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da a,b Element aus Z und in Z die Kommutativität bezüglich der Multiplikation und Addition gilt, gilt die Kommutativität bezüglich der Matrizenmultiplikation in K als bewiesen. ----------------- So ungefähr bin ich alle zehn Axiome durchgegangen, und jetzt überlegt mal, wie das für die Assoziativität bezüglich der Multiplikation aussieht....das muss doch kürzer gehen. Das ist doch nicht in einer 2,5 Std Klausur mit 4 Aufgaben zu schaffen.
18.02.2009, 10:48	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir sollte aber klar sein, dass du alles voraussetzen darfst, was man in der Vorlesung explizit behandelt hat. Axiome, die in diesem Zusammenhang trivial sind, kannst du also als "bekannt" ausführen. Der Clou ist es, nur die nicht-trivialen Axiome zu beweisen. Bekannt sein sollten zB, dass die Menge der Matrizen eine abelsche Gruppe bilden. Man sieht leicht, die 0 ist enthalten, das Inverse eines Elementes auch und somit folgt es schon. Matrizenmultiplikation ist bei ALLEN Matrizen generell assoziativ, das musst du NICHT extra zeigen. Distributivität ebenso! Das Wichtige ist eigentlich nur noch: Ist die Einheitsmatrix enthalten? Ist die Multiplikation kommutativ? Ist jede Matrix außer der 0 invertierbar?
19.02.2009, 03:27	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerdem ist der Körper offensichtlich isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z^2 \end{eqnarray}$ mit der gewöhnlichen Vektoraddition und der Multiplikation $\begin{eqnarray} (a,b)\cdot (c,d) := (ac+bd, ad+bc+bd). \end{eqnarray}$

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