Kurvenintegral

18.02.2009, 12:22

hackerpapst

Kurvenintegral

Hallo erstmal an alle!
Bin neu hier und hoffe auf Hilfe.
Schreibe morgen ne Analysis Klausur und komme mit dem einem Aufgabentyp nicht zurrecht.

Aufgabe 4
Berechnen Sie für das Vektorfeld
F(x, y, z) = (xy,y+z^2,-zy)
das Kurvenintegral über die Schnittkurve der Kugel um (0,0,0) mit Radius 3 und dem Kreiszylinder
(x-1)^2 + y^2 = 1, z >= 0.

Das Problem ist das ich nicht mal einen Ansatz finden kann.

Hoffe irgendjemand kann mir helfen oder zumindest einen Ansatz geben.

THX hackerpapst

18.02.2009, 14:37

Leopold

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Du brauchst zunächst eine Parameterdarstellung für die Kurve. Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

erlaubt den Ansatz

$\begin{eqnarray*} x = 1 + \cos t \, , \ \ y = \sin t \, ; \ \ t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

Setze das in die Kugelgleichung ein und löse unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} z \geq 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf. So bekommst du alle Koordinaten in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Das ist die Parameterdarstellung der Kurve. Die Orientierung der Kurve liegt aber damit noch nicht fest. Ist darüber in der Aufgabe etwas gesagt?

18.02.2009, 15:41

hackerpapst2

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Kurvenintegral
Wenn ich so vorgehe wie du gesagt hast bekomme ich für
z = 9-(1+cos(t))^2-(sin(t))^2.

Davor hatte ich das ganze durch gleichsetzen der beiden Gleichungen versucht also:

x^2+y^2+z^2 - 9 = (x-1)^2+y^2-1.

MuPAD lieferte mir dann

die Matrix (9/2-z^2/2), - (sqrt(-(z-3)*(z+3)+(z^2-5))/2, z) als Schnittgerade.

Beide Varianten helfen mir nun aber nicht wirklich weiter.

Aber ist schonmal nen Anfang.

18.02.2009, 16:15

Leopold

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Der Term für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ läßt sich stark vereinfachen (binomische Formel, trigonometrischer Pythagoras). Und dann fehlt auch noch die Wurzel drüber.

Das mit dem Gleichsetzen von Gleichungen gleich vergessen! Das war noch nie richtig und wird auch nie richtig. Das Mißverständnis kommt aus der Schule. Dort sind meistens Funktionen einer Variablen gegeben, deren Funktionsterme man zur Bestimmung des Schnittpunktes der Funktionsgraphen gleichsetzt. Es werden also Terme gleichgesetzt, nicht Gleichungen!

Und da hier die Flächen nicht durch Terme, sondern durch Gleichungen beschrieben werden, kann man auch nichts gleichsetzen.

18.02.2009, 17:04

hackerpapst

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ok...
dann kriege ich für z = sqrt(7-2*cos(t))...

18.02.2009, 17:07

Leopold

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Und damit kannst du das Kurvenintegral berechnen. Wert je nach Orientierung der Kurve: $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - 4 \pi \end{eqnarray*}$

18.02.2009, 17:13

hackerpapst

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die frage ist jedoch wie ich das mit dem vektorfeld mache? also ich habe jetzt einen z wert und ein vektorfeld.
wie berechne ich daraus das kurvenintegral?

18.02.2009, 17:23

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \gamma: \ \ x = \varphi(t) \, , \ y = \psi(t) \, , \ z = \chi(t) \, ; \ \ t \in [a,b] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} u(x,y,z)~\dd x + v(x,y,z)~\dd y + w(x,y,z)~\dd z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_a^b~\left( u \left( \varphi(t), \psi(t), \chi(t) \right) \cdot \dot{\varphi}(t) + v \left( \varphi(t), \psi(t), \chi(t) \right) \cdot \dot{\psi}(t) + w \left( \varphi(t), \psi(t), \chi(t) \right) \cdot \dot{\chi}(t) \right)~\dd t \end{eqnarray*}$

18.02.2009, 17:24

hackerpapst

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jetzt habe ich die theorie.
tut mir leid, aber ich verstehe die anwendung dadurch immernoch nicht.

18.02.2009, 17:33

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \varphi(t) = 1 + \cos t \, , \ \ \psi(t) = \text{?} \, , \ \ \chi(t) = \text{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x,y,z) = xy \, , \ \ v(x,y,z) = \text{?} \, , \ \ w(x,y,z) = \text{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u \left( \varphi(t), \psi(t), \chi(t) \right) = \left( 1 + \cos t \right) \cdot \sin t \, , \ \ \ \ldots \end{eqnarray*}$

Hast du schon einmal einen Blick in dein Vorlesungsskript geworfen, wie diese ganzen Dinge eigentlich definiert sind?

19.02.2009, 04:49

WebFritzi

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RE: Kurvenintegral
@Leopold: Du magst ja recht haben, aber hier lässt sich dennoch mit brachialer Gewalt etwas bewegen:

Zitat:

Original von hackerpapst2
x^2+y^2+z^2 - 9 = (x-1)^2+y^2-1.

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow z^2 = 9 - 2x \Longleftrightarrow z = \sqrt{9-2x} \end{eqnarray*}$

mit Einbeziehung von $\begin{eqnarray*} z >=0. \end{eqnarray*}$ Klar ist es mit der Trigonometrie viel schöner, weil hier y von x abhängt (in den Grenzen), aber es geht schon...

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