offene Überdeckung

18.02.2009, 21:24

Felix

offene Überdeckung

M sei Teilmenge von R und jedes $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ möge in einer offenen Menge $\begin{eqnarray*} G_x \end{eqnarray*}$ liegen, so dass M Teilmenge der Vereinigung dieser Mengen ist. Ist das der Fall, dann ist das Mengensystem $\begin{eqnarray*} C:= \{G_x:x \in M\} \end{eqnarray*}$ eine offene Überdeckung von M.

Nun wird noch ein Beispiel gebracht:

M Teilmenge von R. Dann ist $\begin{eqnarray*} C:= \{<b>R</b>\} \end{eqnarray*}$ eine offene Überdeckung von M.

Warum ist das so? Voraussetzung ist ja, das jedem $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ eine offene Menge $\begin{eqnarray*} G_x \end{eqnarray*}$ zugeordnet wird (in diesem Fall R) allerdings handelt es sich bei C um ein System also müsste $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ja viel öfter als einmal enthalten sein ( je nach Mächtigkeit von M) verwirrt

18.02.2009, 22:17

Abakus

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RE: offene Überdeckung

Zitat:

Original von Felix
M Teilmenge von R. Dann ist $\begin{eqnarray*} C:= \{ \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ eine offene Überdeckung von M.

Ja, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine offene Menge und sie überdeckt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist hier ein anderes als weiter oben.

Grüße Abakus smile

19.02.2009, 03:32

WebFritzi

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RE: offene Überdeckung

Zitat:

Original von Abakus
Das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist hier ein anderes als weiter oben.

Nein, mit $\begin{eqnarray*} G_x := \mathbb R \end{eqnarray*}$ für jedes x aus M nicht. Offenbar liegt hier zudem ein Missverständnis vor. Ein Mengensystem ist einfach nur eine Menge, deren Elemente wieder Mengen sind. Ganz einfach. Es handelt sich nicht um eine Familie.

19.02.2009, 09:37

Felix

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@Webfritzi

Ja genau das ist der Fall! Also ein System ist nichts anderes als eine Menge?

lg

19.02.2009, 20:18

WebFritzi

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Muss ich darauf jetzt wirklich antworten? unglücklich

19.02.2009, 20:48

Felix

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Ich zitiere mein Analysis.Buch : " Eine Gesamtheit von Dingen, die nicht notwendigerweise alle verschieden sind, nennen wir nicht eine Menge, sondern ein System, ... "

verwirrt

19.02.2009, 20:58

WebFritzi

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However... Ich verstehe zwar nicht, was der Nutzen davon sein soll, aber bitte. Dennoch ist das Beispiel mit IR oben (auch mit dieser Definition eines Systems) korrekt. Ich habe erklärt, warum.

20.02.2009, 07:07

Felix

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Naja,

für die Menge C aller $\begin{eqnarray*} G_x:= R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} C= \{R\} \end{eqnarray*}$
für das System C aller $\begin{eqnarray*} G_x:= R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ (müsste nach dieser Def.) $\begin{eqnarray*} C= \{R,R,R, ...\} \end{eqnarray*}$ (wenn M keine endliche Menge ist, ansonsten halt die entsprechende Anzahl von R´s)

Wo liegt hier mein Denkfehler ? verwirrt

20.02.2009, 17:55

WebFritzi

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Es gibt keinen. Augenzwinkern

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