Rechenregeln Erwartungswert & Varianz

18.02.2009, 23:40

matmalign

Rechenregeln Erwartungswert & Varianz

Hi zusammen, bräuchte mal wieder Hilfe bei einer Aufgabe - genauer gesagt bräuchte ich Durchblick bei den Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz - ich bitte um Hilfe bei allen Lösungen mit Fragezeichen und Überprüfung der restlichen Teilaufgaben auf Richtigkeit:

1) Gegeben seien Zufallsvariablen X, Z, Y

$\begin{eqnarray*} E[X] = \mu_{X} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} Var[X] = \sigma _{X}^2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} E[X \mid Z] = \tilde X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[Y] = \mu_{Y} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} Var[Y] = \sigma _{Y}^2 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} E[Y \mid Z] = \tilde Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var[Y \mid X] = \sigma _{YX}^2 \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie folgende Werte:

a) $\begin{eqnarray*} E[aX + bY + c] \end{eqnarray*}$ mit a, b, c: Konstanten

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = a \mu_{X} + b \mu_{Y} + c \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} Var[aX + bY + c] \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = a^2 \sigma _{X}^2 + b^2 \sigma _{Y}^2 + abCov(X,Y) \end{eqnarray*}$
? Ist es hier möglich per Formel die Cov weiter umzuformen?

c) $\begin{eqnarray*} E[X^2 + Y^2] \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = \sigma _{X}^2 + \mu_{X}^2 + \sigma_{Y}^2 + \mu_{Y}^2 \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} E[aX + bY + cZ \mid Z] \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = a\tilde X + b\tilde Y + cE[Z] \end{eqnarray*}$
??? Hier bin ich mir sehr unsicher bei der Lösung

e) $\begin{eqnarray*} Var[aXY + bX \mid X] \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = a^2 \sigma_{YX}^2 + b^2 \sigma_{X}^2 + abCov(Y,X \mid X) \end{eqnarray*}$
??? auch hier, glaube ich, habe ich mehr gepanscht als gekonnt

f) $\begin{eqnarray*} E[E[Y \mid X]] \end{eqnarray*}$

??? Hier wusste ich nicht weiter - ich weiss nicht was es bedeutet den Erwartungswert von einem Erwartungswert zu ziehen - daher kann ich hier keine Lösung präsentieren

g) $\begin{eqnarray*} E[E[Y \mid X,Z] \mid Z] \end{eqnarray*}$

??? Bahnhof!

h) $\begin{eqnarray*} Var[E[E[Y \mid X] \mid X,Z]] \end{eqnarray*}$

??? Wer denkt sich solche Aufgaben aus!

19.02.2009, 11:03

Wissenscoder

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RE: Rechenregeln Erwartungswert & Varianz
Hi, meine Antworten dazu wären die nachstehenden, aber ich kann dir keine Garantie für Richtigkeit geben.

Zitat:

Original von matmalign
a) $\begin{eqnarray*} E[aX + bY + c] \end{eqnarray*}$ mit a, b, c: Konstanten

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = a \mu_{X} + b \mu_{Y} + c \end{eqnarray*}$

Das stimmt da:
$\begin{eqnarray*} = a*E[\mu_{X}]+b*E[\mu_{Y}]+E[C]=a \mu_{X} + b \mu_{Y} + c \end{eqnarray*}$

Und der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbst.

Zitat:

Original von matmalign

b) $\begin{eqnarray*} Var[aX + bY + c] \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = a^2 \sigma _{X}^2 + b^2 \sigma _{Y}^2 + abCov(X,Y) \end{eqnarray*}$
? Ist es hier möglich per Formel die Cov weiter umzuformen?

Mit der Aufgabe stimme ich auch soweit überein, aber ich habe da noch etwas gelernt, aber weiß ned ob es korrekt ist. Müsste es nicht:

$\begin{eqnarray*} [latex]= a^2 \sigma _{X}^2 + b^2 \sigma _{Y}^2 + 2abCov(X,Y) \end{eqnarray*}$ [/latex] sein?

Zitat:

Original von matmalign
c) $\begin{eqnarray*} E[X^2 + Y^2] \end{eqnarray*}$

meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} = \sigma _{X}^2 + \mu_{X}^2 + \sigma_{Y}^2 + \mu_{Y}^2 \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabe bin ich mir überhaupt nicht sicher, aber deine Lösung finde ich etwas sehr merkwürdig. Was haben die Sigma da zu suchen? Hast du eine Regel angewandt die ich villt. nicht kenne?

Ich hätte so gemacht: $\begin{eqnarray*} =E[X*X+Y*Y]=E[X]*E[X]+E[Y]*E[Y]=2*\mu_X+2*\mu_Y \end{eqnarray*}$

Den Rest müsste ich, wenn ich später zeit habe noch später machen

30.09.2010, 16:10

KeineAhnungWas

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Hi,
ganz wichtig zu Aufgabenteil c)

Zitat:

Original von Wissenscoder:
Ich hätte so gemacht: $\begin{eqnarray*} =E[X*X+Y*Y]=E[X]*E[X]+E[Y]*E[Y]=2*\mu_X+2*\mu_Y \end{eqnarray*}$

zwei Anmerkungen:
1. grundlegende Rechenregeln:
$\begin{eqnarray*} E[X]*E[X] \neq 2*\mu_X \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} =E[X]^2 = \mu_X^2 \end{eqnarray*}$

2. und viel wichtiger in diesem Zusammenhang:
$\begin{eqnarray*} E(X*Y)=E(X)*E(Y) \end{eqnarray*}$ gilt nur wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig voneinander sind!
Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann nicht unabhängig von sich selbst sein, daher gilt
$\begin{eqnarray*} E(X^2) \neq E[X]*E[X] \end{eqnarray*}$

Beste Grüße
Oli

30.09.2010, 16:25

René Gruber

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Zitat:

Original von KeineAhnungWas
Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann nicht unabhängig von sich selbst sein, daher gilt
$\begin{eqnarray*} E(X^2) \neq E[X]*E[X] \end{eqnarray*}$

Nun ja, ganz so kann man das nicht stehen lassen, auch wenn du in der Hauptsache natürlich Recht hast.

Eine Zufallsgröße ist genau dann unabhängig von sich selbst, wenn sie fast sicher konstant ist, d.h., wenn es einen Wert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X=c)=1 \end{eqnarray*}$ gibt.

Dann, und darüber hinaus nur dann (!) gilt dieses $\begin{eqnarray*} E(X^2)=(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ , was übrigens identisch zur Aussage $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

01.10.2010, 14:24

KeineAhnungWas

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Spricht man noch von Zufallsvariable wenn die Varianz = 0 ist und $\begin{eqnarray*} X=c \end{eqnarray*}$ mit Sicherheit gilt?

01.10.2010, 16:16

René Gruber

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Ja - auch eine Zahl ist eine Zufallsgröße, eben eine konstante Zufallsgröße.

Das auszuschließen hätte üble Konsequenzen bei der Abfassung mancher Sätze und Eigenschaften - vergleichbar dem, dass man Quadrate nicht als Rechtecke auffasst usw.

01.10.2010, 18:27

Zellerli

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Dem gibt es nichts hinzuzufügen. Nur zur Veranschaulichung mal der umgekehrten Weg: Eine konstante Zufallsgröße basteln/definieren.

Sie soll mal $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\quad \quad \ \ \ \ \ \ \ x \mid c \ \ }{P(X=x) \mid 1 \ \ } \end{eqnarray*}$

(hui hässliche Tabelle aus dem Bruch).

Jede Zahl $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ hat dann die o.g. Darstellung als "Zufallsgröße".

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