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18.02.2009, 23:56

Mr-Teddy

Lgs

Hallo Ihr,

ich habe heute meine Lineare Algebra Klausur vollkommen in den Sand gesetzt und bin gerade dabei, die Aufgaben noch einmal durchzurechnen. Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen nachzuvollziehen, was ich hätte machen müssen, um die Wiederholungsklausur zu packen.

Für welche a $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat das folgende lineare Gleichungssystem keine Lösung, genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen?
Geben Sie im Fall der Lösbarkeit die Lösung an.

x + 2y - 3z = 4
3x - y + 5z = 2
4x + y + ( $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ - 14)z = a + 2

Also ich habe hier die Matrix aufgestellt

A =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\ 3 & -1 & 5 & 2 \\ 4 & 1 & a^{2}-14 & a+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und kam dann zu dem Gedanken, dass wenn a = 4 ist, die untere Zeile wegfällt. Und das bei -4 die Gleichung nicht lösbar ist. Ja und das wars.

19.02.2009, 00:58

mYthos

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Hallo,

dieses Thema ist hier im Board schon oft behandelt worden. Siehe dir mal zunächst an:

LGS mit Parameter

und alle darin angegebenen weiterführenden Links (betreffen alle das Forum).
Versuche dann einen sinnvollen Ansatz (die Matrix ist schon gut! Die könntest du doch weiter umformen ...) und weiterführende Rechnung.
Auch mit der Koeffizientendeterminate lässt sich etwas machen ...

mY+

19.02.2009, 09:35

Mr-Teddy

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Gut, ich hab die Matrix jetzt weiter umgeformt und hoffe das stimmt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & 14 & -10 \\ 0 & 0 & a^{2} - 16 & a - 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Hab auch von der Determinantenmethode gelesen auf den Links, die irgendwie keiner anwenden wollte. Wie funktioniert die denn?

19.02.2009, 09:55

klarsoweit

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Die Determinante hilft einem bei der Untersuchung, ob eine Matrix regulär oder singulär ist. Das kann jetzt aber auch direkt ablesen. Entscheidend ist, ob und wann die letzte Zeile eine Nullzeile ist oder nicht.

19.02.2009, 09:57

mYthos

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Infolge der Nullen in der Matrix kannst du nun - von unten nach oben gehend - die Lösungen direkt berechnen (die Umformung der Matrix habe ich jetzt noch nicht kontrolliert):

$\begin{eqnarray*} (a^2 - 16)z = a - 4 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt z. Achtung: Fallunterscheidung!
a)
$\begin{eqnarray*} a \neq 4 \end{eqnarray*}$ -> Durch (a - 4) kürzen
Dabei steht noch ein weiterer Faktor zur Diskussion [(a + 4)], entweder ist er Null oder ungleich Null ...

b)
$\begin{eqnarray*} a = 4 \ \to \ 0 \cdot z = 0 \end{eqnarray*}$
Was kann dann über z ausgesagt werden?
-----------

Weil z nun bekannt ist, gehen wir eine Zeile höher, woraus nach Einsetzen von z nun auch y zu ermitteln ist ... usw.

Wenn - so wie hier - die Lösungen selbst nicht gefragt sind, sondern nur die Lösbarkeit, bietet sich auch die Determinantenmethode an. Wenn die aus den Koeffizienten von x, y, z gebildete Determinante ungleich Null ist, hat das System eine eindeutige Lösung. Andernfalls .... das kannst du nun sicher auch den angegebenen Links entnehmen.

Wir können bei Bedarf nachher noch darüber reden.

mY+

19.02.2009, 10:34

Mr-Teddy

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also im Fall von b. wäre es egal, welche Größe z hat. Und das würde bedeuten, es gibt unendlich viele Lösungen, oder?

Und für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 4 gibt es dann immer je eine Lösung, die ich berechnen kann.

Dann müsste es doch für a = -4 keine Lösung geben, weil hier 0z = -8 stehen würde und das nicht geht.

Ich soll ja aber laut Aufgabe im Fall der Lösbarkeit die Lösung angeben.

19.02.2009, 11:25

mYthos

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Zitat:

also im Fall von b. wäre es egal, welche Größe z hat. Und das würde bedeuten, es gibt unendlich viele Lösungen, oder?

Richtig. Dann kannst du z = t (t ist ein Parameter) setzen.

Zitat:

Original von Mr-Teddy
...
Und für a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 4 gibt es dann immer je eine Lösung, die ich berechnen kann.

Dann müsste es doch für a = -4 keine Lösung geben, weil hier 0z = -8 stehen würde und das nicht geht.
...

Ja, das ist ok.

Allerdings befürchte ich, dass das nicht für dieses Gleichungssystem zutrifft, denn offensichtlich hast du die Matrix falsch umgeformt oder eine andere Angabe genommen. Nach schnellem Durchrechnen der Determinante habe ich den Nenner $\begin{eqnarray*} a^2 - 22 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} a^2 - 16 \end{eqnarray*}$ . Kannst du nochmals deine Rechnung dahingehend revidieren?

EDIT: Deines stimmt schon, ich hatte einen Angabefehler!

mY+

19.02.2009, 11:50

Mr-Teddy

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Ich habe bei meiner Umfurmung nur von der unteren Zeile die anderen beiden Zeilen abgezogen.
Und von der mittleren Zeile das dreifache der ersten Zeile abgezogen.
Ich finde den Fehler nicht

19.02.2009, 18:29

mYthos

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Vollkommen in Ordnung, wie du die Matrixumformung beschrieben hast!

EDIT:
Ach Teufel

auch - ich seh' jetzt erst, dass ich einen Angabefehler in der ersten Zeile hatte, dort steht ja nicht 1 2 3 4, sondern 1 2 -3 4, sorry!

!! Im Endeffekt kommt dann doch

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -7 & 14 & -10 \\ 0 & 0 & a^{2} - 16 & a - 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

OK, nun diskutiere die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten. Die Lösungen selbst kannst du nun leicht, wie schon beschrieben, von der dritten Zeile an (von unten nach oben gehend, als z, y, x) bestimmen!

mY+

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