Gewöhnliche DGL

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19.02.2009, 08:16	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche DGL Hallihallo ich hab mal wieder na Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung $\begin{eqnarray} y=y(x) \end{eqnarray}$ des Anfangswertproblems $\begin{eqnarray} (x^2-1)y' + 2xy = xy^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ . Ein hilfreicher Ansatz wäre schon mal lieb! Danke
19.02.2009, 08:31	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab versucht die Variablen zu separieren, aber es geht irgendwie nicht! hab auch schon bisschen rum und num gestellt: $\begin{eqnarray} y'= \frac{xy^2-2xy}{(x^2-1)} = \frac{xy-2x}{x^2-1} y \end{eqnarray}$
19.02.2009, 08:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schon versucht, einen integrierenden Faktor für diese DGL zu finden? Sieht hier sehr erfolgversprechend aus.
19.02.2009, 09:01	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
da hätt ich also so umgestellt: $\begin{eqnarray} (x^2-1)y' + 2xy-xy^2 = 0 \end{eqnarray}$ Dann wäre $\begin{eqnarray} p(x,y)=2xy-xy^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q(x)=x^2-1 \end{eqnarray}$ Ist doch richtig oder?
19.02.2009, 09:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es - weiter geht's. Für deine DGL funktioniert übrigens bereits das im verlinkten Wikipedia-Artikel weiter unten angegebene Kriterium für die Existenz integrierender Faktoren .
19.02.2009, 09:11	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann $\begin{eqnarray} p_y=2x-2xy=2x(1-y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_x=2x \end{eqnarray}$ . Dann also: $\begin{eqnarray} 2xy=g(y)(2xy-xy^2) \end{eqnarray}$ Oder?
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19.02.2009, 09:13	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher weiß ich denn welchen ansatz ich für den Multiplikator nehme?
19.02.2009, 09:42	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Also hätte ich: $\begin{eqnarray} g(y)= \frac{2}{2-y} \end{eqnarray}$ Und was muss ich jetzt machen?
19.02.2009, 09:45	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehm ich da jetzt den Ansatz $\begin{eqnarray} m = m(y) \end{eqnarray}$ , weil g nur noch von y abhängt?
19.02.2009, 09:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja der Witz dran, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nur noch von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , aber nicht mehr von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängt - sonst würde dieses spezielle Kriterium doch gar nicht greifen! Wenn ich mal die Wikipediabezeichnungen übernehme, dann ist als nächstes die DGL $\begin{eqnarray} \mu'(y) = g(y)\mu(y) = \frac{2}{2-y} \mu(y) \end{eqnarray}$ zu lösen - besser gesagt: Es ist nur eine Lösung dieser DGL zu finden, und die kann man dann als integrierenden Faktor deiner Ausgangs-DGL verwenden.
19.02.2009, 10:18	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass ich dann folgenden Multiplikator habe: $\begin{eqnarray} m = e^{(4y-y^2)} \end{eqnarray}$ ??? Ach das ist quatsch ich rechne nochmal!
19.02.2009, 10:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da hast du dich verrechnet. Es ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{\mu} ~ \dd\mu = \frac{2}{2-y} ~ \dd y \end{eqnarray}$ , was ergibt denn da die Integration?
19.02.2009, 10:31	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
So nun nochmal! Ich hab als Multiplikator $\begin{eqnarray} m=\frac{1}{2-y} \end{eqnarray}$
19.02.2009, 10:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\mu} ~ \dd\mu = \frac{2}{2-y} ~ \dd y \end{eqnarray}$ integriert ergibt $\begin{eqnarray} \ln(\mu) = -2\ln(y-2)+C \end{eqnarray}$ . Ok, wir brauchen nur eine Lösung, sagen wir $\begin{eqnarray} C=0 \end{eqnarray}$ , das ergibt $\begin{eqnarray} \mu = \frac{1}{(y-2)^2} \end{eqnarray}$ .
19.02.2009, 12:07	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
So dann ist aus der DGL folgendes geworden: $\begin{eqnarray} \frac{x^2-1}{(2-y)^2}y'+ \frac{xy}{(2-y)}=0 \end{eqnarray}$ Das müsste nun ne Exakte DGL sein oder?
19.02.2009, 15:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es - zur Probe kannst du ja mal $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{x^2-1}{(2-y)^2} \right) \stackrel{?}{=} \frac{\dd}{\dd y} \left( \frac{xy}{2-y} \right) \end{eqnarray}$ überprüfen.
19.02.2009, 15:40	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
So das hab ich jetzt überprüft! Stimmt! Wie war das doch noch gleich mit dem Lösen von einer exakten DGL????
19.02.2009, 15:57	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mal bitte jemand überprüfen, ob dass so stimmt: $\begin{eqnarray} C=\frac{yx^2+2}{4-2y} \end{eqnarray}$ Danke schin mal im voraus!
19.02.2009, 16:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn jetzt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ sein? Zu bestimmen ist als nächstes eine Funktion $\begin{eqnarray} F(x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd y} F(x,y) &=& \frac{x^2-1}{(2-y)^2}\\ \frac{\dd}{\dd x} F(x,y) &=& \frac{xy}{2-y} \end{eqnarray}$ .
19.02.2009, 16:09	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
C ist irgendeine Konstante!
19.02.2009, 16:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für eine Konstante? In der endgültigen Lösung des Anfangswertproblems hat keine Konstante was zu suchen. Wenn du also schon ein paar Schritte auslässt bzw. nicht erklärst, dann solltest du auch wissen, was du tust.
19.02.2009, 16:25	Hibi83	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Ok ich hatte vergessen, dass y(0)=1 gegeben war hab also dann das raus: $\begin{eqnarray} 1=\frac{yx^2+2}{4-2y} \end{eqnarray}$
19.02.2009, 16:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Umformung nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ wäre natürlich angebracht. Aber da ist sowieso noch ein Fehler drin, wie du bei der Probe merken wirst. Wo du den gemacht hast, kann ich aufgrund der übersprungenen Schritte ( ) nicht sagen.

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