Lineare Unabhängigkeit mit Gauß prüfen

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-Heiko- Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit mit Gauß prüfen
Hallo allerseits.

Ich muss mich mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren befassen und stoße da auf Verständnisfragen.


Ist in einer Aufgabe nach der linearen Abhängigkeit gefragt, so gehe ich folgendermaßen vor, um sie zu überprüfen:

Ist ein Vektor offensichtlich vielfaches eines anderen, ist die Aufgabe gelöst, die Vektoren sind linear abhängig.

Ist das nicht einfach zu sehen, übertrage ich die Vektoren in eine Matrix und verwende den Gaußalgorithmus. Lässt sich das System sauber stufen, sind sie lin. unabhängig, andernfalls abhängig.

In Musterlösungen steht allerdings häufig nicht nur "die Vektoren sind lin. abhängig", sondern zB "3 der 4 Vektoren sind lin unabhängig."

Wie erkenne ich also wie viele der Vektoren unabhängig sind und womöglich noch genau welche??
Hat das vielleicht etwas mit einer Nullzeile zu tun??

Wem es hilft, hier noch ein konkretes Beispiel:

Untersuche die folgenden 4 Vektoren auf ihre lineare Abhängigkeit.

Meine Antwort war: Sie sind linear abhängig. Was wohl auch nicht ganz falsch ist.

In der Lösung war die Antwort aber folgende:

"Nach Umwandlung sieht Matrix so aus:




3 der 4 Vektoren sind linear anabhängig."

Danke euch vielmals!!
Sarahmaus Auf diesen Beitrag antworten »

ich probiers mal.
Nach deiner Umformung ließe sich ja der letzte Vektor als Linerkombination der anderen schreiben, während die anderen drei als Einheitsvektoren linear unabhängig sind (wenn man den letzten hierfür nicht betrachtet).
Daher steht wohl (wenn du eine Matrix in dieser Form hast) jede NichtNullzeile für einen "linear unabhängigen" Vektor.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Auftauchen der Nullzeile zeigt sofort eine lineare Abhängigkeit. Die verbleibenden drei Vektoren werden nun analog auf lineare Abhängigkeit untersucht. Da deren Matrix nicht mehr weiter umzuformen ist, sind sie linear unabhängig. Darauf deuten auch die Nullen und einzelne Werte hin, die in jedem der Vektoren an anderer Stelle stehen.

(a; 0; 0)
(0; b; 0)
(0; 0; c)

z.B. sind in jedem Falle lin. unabhg., da sie nicht durch eine Linearkombination ineinander übergeführt werden können.

mY+
-Heiko- Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Schluss, dass jede Nullzeile einen abhängigen Vektor bedeutet (dessen Eliminierung die Menge zu einer linear unabhängigen Menge machen würde) ist richtig??

Überhaupt verwirrt mich dieser Gedankengang sehr. Die einzelnen Vektoren sind doch die Spalten und man redet ständig von den Zeilen?!

Ich danke euch!!!
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Generell gilt: Spaltenrang = Zeilenrang.

maximaler Rang = "Anzahl der Nicht-NullZeilen" + "Anzahl der Nullzeilen" (bzw. gilt das auch für Nullspalten)

Vielleicht bringt dich das weiter:
Aber um eine Basis zu bestimmen, schreibt man die Vektoren zeilenweise in die Matrix, bringt sie auf Zeilenstufenform und die Zeilenvektoren der "Nicht-Nullzeilen" bilden dann eine Basis. (Ich hoffe, ihr habt den Begriff der Basis schon durchgemacht).
-Heiko- Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nein...

Den Begriff der Basis hatten wir schon, aber ich verstehe nicht was das mit meinem Problem zu tun hat.

Noch mal die Kernfrage:

Nach dem Umstellen in Zeilenstufenform: Bedeutet jede Nullzeile dass 1 Vektor unabhängig ist? ALso Beispielsweise es erscheint ein System folgender Form:

Kann ich nun folgern welcher der Vektoren bzw. welche 2 die abhängigen sind? In einem größeren System mit 5 Zeilen. Heißen 3 Nullzeilen dann dass 3 Vektoren abhängig voneinander sind und 2 unabhängig??

Ich bin gespannt ob das irgendwer klären kann. Danke euch!!
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem: Dh, die Vektoren, die die Basis bilden, sind linear unabhängig und spannen einen Vektorraum auf. Dh, alle Vektoren aus diesem Vektorraum lassen sich aus genau einer Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

Wenn du 5 Vektoren hast, diese in eine Matrix schreibst und diese Matrix auf Zeilenstufenform überführst, dann kann man nur sagen, wie viele Vektoren linear unabhängig sind (Dh, die Anzahl der Nicht-Nullzeilen). Welche der Ausgangsvektoren nun linear unabhängig von einander sind, musst du extra untersuchen. ZB untersuchst du die lineare Abhängigkeit von nur 4 Vektoren usw,.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nur folgern, dass zwei Vektoren lin. unabh. sind, aber nicht welche zwei. Denn du siehst vielleicht selbst, dass je zwei von den drei Spaltenvektoren lin. unabhg. sind, egal, welche beiden du herausnimmst. Nur alle drei zusammen sind eben lin. abh.

Die Vektoren befinden sich übrigens in den Spalten, ein Zeilenvektor mit lauter Nullen wäre der Nullvektor und der spielt bei Untersuchung auf lin. Abh. innerhalb einer LK sowieso nicht mit (nur im Ergebnis einer LK kann sich der Nullvektor ergeben).

mY+
-Heiko- Auf diesen Beitrag antworten »

Super ihr 2, danke.


Ich fasse zusammen: Man kann nicht erkennen welche Vektoren linear abhängig/unabhängig sind, sondern nur wie viele.
Um auszulesen wie viele unabhängig sind, schaue ich mir an wie viele Nicht-Nullzeilen ich habe.
Ein System mit 5 Vektoren von denen 3 lin abhängig sind, wird also immer 3 Nullzeilen aufweisen.

Stimmt das so?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Man kann doch erkennen, welche Vektoren linear unabhängig sind. Schreibst du z.B. 5 Vektoren in dieser Reihenfolge als Spalten in eine Matrix und hat die Matrix nach Durchführen von elementaren Zeilenumformungen z.B. die Zeilenstufenform

,

so kann man sagen, dass linear unabhängige Vektoren sind. Es lässt sich aus obiger Zeilenstufenform sogar noch mehr ablesen, z.B. dass gewesen sein muss und dass gilt.

Es sind also z.B. die Spalten linear unabhängig, die in der Zeilenstufenform zu Pivotspalten werden.
-Heiko- Auf diesen Beitrag antworten »

Kann das jemand bestätigen? Das widerspricht ja dem der Vorredner.

Ich hab mich ja immer schon gefragt wie eine NullZEILE etwas konkretes über den Vektor in der SPALTE aussagen kann.

Du sagst also, dass eine Pivotspalte bedeutet, dass dieser Vektor ursprünglich linear unabhängig ist? Zählt eine Spalte mit einer negativen 1 auch als Pivotspalte??

Es scheint, dass hier allg viel Verwirrung ist. So war es auch bei meinen Komolitonen. Frag 3 Leute und krieg 3 versch. Antworten...
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann keinen wirklichen Widerspruch zu MSS-Aussagen finden.

Meine Gedanken dazu:


Auch die Vektoren sind linear unabhängig.

Einzig:
Was ist, wenn man beim Überführen der Matrix auf zB Zeilenstufenform, zwei Spalten vertauscht (ich weiß, würde man wahrscheinlich nicht tun, aber es ist erlaubt), dann ist doch die "Zuordnung" von 1. Spalte mit v_1, 2. Spalte ist v_2 usw. durcheinander. Dh, jedoch ist das dasselbe wie, wenn man die Matrix zB so aufschreibt: -> Widerlegt auch die Aussage nicht Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von -Heiko-
Kann das jemand bestätigen? Das widerspricht ja dem der Vorredner.


Wie wäre es, wenn du dich mal selber davon überzeugst? unglücklich


Zitat:
Original von -Heiko-
Es scheint, dass hier allg viel Verwirrung ist. So war es auch bei meinen Komolitonen. Frag 3 Leute und krieg 3 versch. Antworten...


Die Verwirrung liegt einzig und allein bei dir. Übrigens heißt es "Komilitonen".
-Heiko- Auf diesen Beitrag antworten »

@Eierkopf: Danke dir wirklich vielmals für deine Zeit!
Ich dachte es widerspricht insofern, dass es erst hieß man könne nicht erkennen WELCHER Vektor genau unabhängig/abhängig sei und dann hieß es, man könne es sehr wohl an den Spalten der Matrix erkennen.

Ich werde mir das morgen noch mal alles in Ruhe durchlesen und hoffentlich durchsteigen. Also offensichtlich kann man an einer reduzierten Matrix erkennen wie viele und welcher Vektor linear (un-)abhängig ist. Das ist wichtig und das sollte ich vielleicht schon verstehen.

Also, noch mal danke. Ich denke mehr gibt es hier nicht zu sagen.


Aber eins muss noch sein:
@ WebFritzi: Ich weiß nicht was du für ein seltener Vogel bist und wo dein Problem liegt, aber wenn das dein ganzer Beitrag für den Abend ist, na dann vielen Dank.
Ich soll mich selbst davon überzeugen?? Also es wurde ja wohl ziemlich offensichtlich wie hilflos ich mit diesem mathematischen Problem bin. Glaub mir, ich hätte es mir allzu gerne selbst hergeleitet. Ich habe stundenlang irgendwelche Beispielmatrizen rumgekrizelt aber konnte einfach kein verlässliches System entdecken.
Wenn ich dann meine 2 gegensätzliche Dinge zu hören, frage ich doch lieber ob jemand drittes etwas weiß, als hier wieder stundenlang zu verzweifeln und mir Ende immer noch nicht sicher zu sein. Ich vertraue meinem mathematischen Geist nicht gerade... Nicht nachvollziehbar?

Die Verwirrung liegt also ganz alleine bei mir. Soso. Schön dass du mit meinen Leuten gesprochen hast und bei denen jetzt alles klar ist!
Ui, da habe ich anstatt einem "i" ein "o" geschrieben, wie schrecklich. Ich hoffe das hat dir nicht deinen Abend versaut... Ich muss wohl noch viel lernen bis ich auf deinem intellektuellen Niveau angekommen bin...

So, fertig. Ich hatte nen scheiß Tag und wenn dann jemand so arrogant kommt... das war etwas viel.
Ich entschuldige mich bei allen anderen für den Ton, ist eigentlich gar nicht meine Art.

Vor Allem aber danke an die Leute die mir geduldig helfen wollten/geholfen haben. Darum geht es doch hier im Forum, oder?

Heiko
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Als Antwort auf den Hinweis von eierkopf1: Natürlich darf man keine Spalten vertauschen. Ich habe auch extra folgendes geschrieben:

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
[...] hat die Matrix nach Durchführen von elementaren Zeilenumformungen z.B. die Zeilenstufenform [...]

Diese Formulierung war sehr bewusst so gewählt. Das Vertauschen zweier Spalten ist nämlich eine elementare Spaltenumformung und eine solche habe ich hier nicht zugelassen.

Dass auch linear unabhängig sind, stimmt. Ebenso sind auch linear unabhängig.

@Webfritzi
Wenn wir schon so pingelig sind, dann auch richtig - es heißt "Kommilitonen". Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@Webfritzi
Wenn wir schon so pingelig sind, dann auch richtig - es heißt "Kommilitonen". Augenzwinkern


LOL, scheiße... Big Laugh Asche auf mein Haupt. Aber richtig viel...

Nimms nicht so, Heiko. Ich wollte dich nur darauf hinweisen, dass Mathespezialschüler dir doch ein Beispiel gegeben hat, mit dem klar wird, dass deine Behauptung von oben nicht stimmt. In der Mathematik geht es darum, selbst Dinge zu verstehen und nicht blind anderen zu glauben.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

Das mit den Zeilenumformungen habe ich natürlich nicht überlesen. Was wäre aber, wenn man die Matrix transponiert, dann Zeilenumformung und dann wieder zurück transponiert? verwirrt


Aber jedenfalls danke fürs Richtigstellen. Wieder etwas hinzugelernt Freude
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eierkopf1
Das mit den Zeilenumformungen habe ich natürlich nicht überlesen. Was wäre aber, wenn man die Matrix transponiert, dann Zeilenumformung und dann wieder zurück transponiert? verwirrt

Das ist nichts anderes, als hättest du von Anfang an Spaltenumformungen gemacht. Oder anders, wenn man das Transponieren am Ende weglässt: Das ist so, als hättest du deine Vektoren in die Zeilen geschrieben und dann Zeilenumformungen gemacht.

Wenn man es so macht, wie du es jetzt beschrieben hast (transponieren, Zeilenumformungen, transponieren), dann sieht man am Ende in den Spalten nicht nur die linearen Abhängigkeiten der ursprünglichen Vektoren, sondern nach den Umformungen hat sich sogar nicht einmal der Spaltenraum verändert, d.h. in diesem Fall kann man sogar die Vektoren, die dann in den Spalten stehen, zur Auswahl einer Basis des von den ursprünglichen Vektoren aufgespannten Untervektorraums nutzen, falls man das möchte.
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