Exponentialfunktion durch Reihe ersetzt?

19.02.2009, 16:05

Mark00

Exponentialfunktion durch Reihe ersetzt?

Hallo ihr,
ich habe die folgende Gleichung aufgestellt und möchte nun die darin enthaltene Exponentialfunktion durch eine Reihe darstellen:

y(t)=exp(-k*t) * (A – B/k) + B/k + C

Als Substitution für exp(t) habe ich mich für die folgende Reihe

(Summe von n=0 bis unendlich für t^n/n!

entschieden (s. z. B. Wikipedia -> Exponentialfunktion). Unter Berücksichtigung der geltenden Regel

(Summe k * n) = k * (Summe n)

schreibe ich meine Gleichung nun wie folgt um:

y(t)= -k * (Summe n^t/n!) * (A – B/k) + B/k + C

Beim Vergleich der beiden Gleichung komme ich aber auf unterschiedliche Werte. Was mache ich falsch? Wo hat sich der fehlerteufel eingeschlichen?

Vielen Dank für jede hilfreiche Antwort.

LG

Mark

19.02.2009, 17:21

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Zitat:

Original von Mark00
y(t)= -k * (Summe n^t/n!) * (A – B/k) + B/k + C

Wo kommt denn der Term her? geschockt

19.02.2009, 19:35

Mark

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Mark00
Ich meinte natürlich t^n.

Anbei zur besseren Übersicht:

Originalfunktion:

$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{-I \cdot x} \cdot \left(A - \frac{B}{I}\right)+\frac{B}{I}+C \end{eqnarray*}$

Substitution von e(x):

$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

meine Annahme:

$\begin{eqnarray*} \exp(-I \cdot x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{-I \cdot x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ woraus aufgrund der Rechenregel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^{n}\lambda\cdot a_k = \lambda\cdot \sum_{k=m}^{n}a_k \end{eqnarray*}$

meine neue Funktion

$\begin{eqnarray*} y(x)=-I \left( \cdot \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) \cdot \left(A - \frac{B}{I}\right)+\frac{B}{I}+C \end{eqnarray*}$

resultiert. Ist die Annahme bzw. die Substitution nun richtig?

19.02.2009, 20:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mark
$\begin{eqnarray*} \exp(-I \cdot x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{-I \cdot x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Was auch immer $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sein mag, in jedem Fall gilt

$\begin{eqnarray*} \exp(-I\cdot x)=\sum_{n = 0}^{\infty}~\frac{(-I\cdot x)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und das ist etwas ganz anderes als das, was du hingeschrieben hast. Die Klammern sind hier wesentlich!

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