wurzel(9) = 9^0,5? 9^-2 = 1/9^2? Warum?

09.09.2006, 11:15

schmouk

wurzel(9) = 9^0,5? 9^-2 = 1/9^2? Warum?

Hallo.

Ich hab' ja folgendes gesagt bekommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 9^{-2}=\frac{1}{9^2} \end{eqnarray*}$ .

Kann mir denn jemand erklären, warum das so ist?

Kevin

09.09.2006, 11:21

JochenX

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Das sind eigentlich nur Schreibweisen.

bei natürlichen Exponenten ist die Definition von ...^... denklich einfach, bei negativen, bzw. rationalen Exp. wird es dann schon schwieriger.
Diese Definitionen wie oben erlauben insbesondere das weiterführen der (auf natürlichen Zahlen bekannten) Potenzgesetze.

z.B. $\begin{eqnarray*} 9^{-2}*9^2=9^{-2+2}=9^0=1 \end{eqnarray*}$ , also muss man $\begin{eqnarray*} 9^{-2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 1/9^2 \end{eqnarray*}$ festsetzen.....

Diese Definitionen sind also sinnvoll und wurden deswegen fest so eingebürgert.

09.09.2006, 11:49

schmouk

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Ja der Sinn von dem ganzen wird mir immer klar, wenn ich's anwende. Aber wenn es funktioniert, wenn ich eine potenz mit negativem exponenten als 1durch potenz mit pos exponenten umwandeln darf, dann muss doch etwas mathematisches dahinterstecken.

kann ja nicht anders sein. entschuldige mein Skepsis.

kevin

09.09.2006, 11:58

JochenX

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Zitat:

Original von schmouk
Aber wenn es funktioniert

Interessante Formulierung! was meinst du mit "wenn es funktioniert"?

Mathematisch steckt eben dahinter, dass du mit deiner (nicht mehr ganz so kanonischen Definition wie bei den natürlichen Zahlen) Definition von Potenzieren bei ganzzahligen (oder sogar gebrochenen, oder später sogar reellen!) Exponenten, erreichst, dass du die alten Rechengesetze auf den anderen Strukturen FORTSETZEN kannst.

Vergleiche das mal mit der Multiplikation: die Def, die wir ursprünglich kennenlernen ist 3*4:=4+4+4, so lernen wir das und so macht das Sinn.
Damit aber 3,2*4,6=? berechnen zu wollen...... da muss schon etwas mehr gemacht werden.
Die normale Fortführung auf den rationalen Zahlen muss da auch erst definiert werden - natürlich so, dass alle bekannten Rechenregeln (z.B. Assoziativgesetze oder sowas) erhalten bleiben.

Sies es hier also so:
man definiert potenzieren "normal" mit Exp. aus den natürlichen Zahlen und stellt einige Regeln fest.
Danach definiert man potenzieren mit anderen Exponenten so, dass die alten Regeln erhalten bleiben - aber es ist und bleibt (anerkannte, weil eben sinnvolle!) Definition.

09.09.2006, 13:04

schmouk

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Is egal. Ich bin nicht weit genug um mit dir darüber zu diskutieren.
Sorry

09.09.2006, 21:43

Lazarus

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Du kennst doch sicher das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^x\cdot a^y = a^{x+y} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} x+y = 0 \end{eqnarray*}$ somit ist $\begin{eqnarray*} a^{x+y}=a^0=1 \end{eqnarray*}$

und es ist ja offentsichtlich das $\begin{eqnarray*} 1=\frac{9}{9}=\frac{9^2}{9^2} \end{eqnarray*}$ ist.

Die Notwenigkeit der Definition von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^x}=a^{-x} \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann.

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