Integration durch Substitution

19.02.2009, 20:09

DOZ ZOLE

Integration durch Substitution

Hallo, ich habe folgende Funktion integriert:

$\begin{eqnarray*} f(x)=8\cdot\frac{ln(x+1)}{x+1} \end{eqnarray*}$

und möchte nur wissen ob meine Schreibweise mathematisch vertretbar ist.Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~8\cdot\frac{ln(x+1)}{x+1}~dx=8\cdot\int_{}^{}~\frac{ln(x+1)}{x+1}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z:=x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8\cdot\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz=8\cdot\int_{}^{}~\frac{ln(z)}{z}~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\cdot\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz=8\cdot\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\cdot\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz=8\cdot [ln(z)\cdot ln(z)-\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\cdot[2\cdot\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz]=8\cdot ln^2(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\cdot\int_{}^{}~\frac{1}{z}\cdot ln(z)~dz=4\cdot ln^2(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=4\cdot ln(x+1)+c \end{eqnarray*}$

19.02.2009, 20:40

derkoch

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Das $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$ vergessen, beim Rücksubstituieren!

Eine Substitution: $\begin{eqnarray*} u= ln(x+1) \end{eqnarray*}$

hätte dir das Leben wesentlich erleichtert! Augenzwinkern

19.02.2009, 21:00

DOZ ZOLE

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RE: Integration durch Substitution

Zitat:

Original von DOZ ZOLE

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=4\cdot ln^2(x+1)+c \end{eqnarray*}$

oh danke hab den fehler korrigiert.

20.02.2009, 19:03

Daniel45b

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Ich würde von der Schreibweise $\begin{eqnarray*} \ln^2(x) \end{eqnarray*}$ absehen, und stattdessen eindeutiger $\begin{eqnarray*} (\ln(x))^2 \end{eqnarray*}$ verwenden. Bei trigonometrischen Funktionen ist diese Schreibweise üblich, aber auch da würde ich mich an eindeutigere Schreibweisen für Exponenten halten.

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