Matrix hoch -1/2 ?

19.02.2009, 22:32	Tobus	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix hoch -1/2 ? Hallo, kann mir jemand sagen, was anschaulicht (und vor allem wie man es rechnet) $\begin{eqnarray} A^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray}$ wobei A eine Matrix ist. DANKE
19.02.2009, 23:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix hoch -1/2 ? (Aus welchem Zusammenhang ist das denn gerissen?) Meine Interpretation: 1. B muss regulär sein $\begin{eqnarray} B^{-1}:=(A^{\frac{1}{2}})^{-1} \end{eqnarray}$ 2. Lösen einer Matrixgleichung. $\begin{eqnarray} B^2=A \end{eqnarray}$
19.02.2009, 23:23	Tobus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix hoch -1/2 ? Die Aufgabe: Gegeben sind die Vektoren: b1=(0,0,1,0) b2=(1,0,0,-1) b3=(0,-1,0,1) Bestimmen sie A^(-1/2) für die Matrix A, deren Elemente durch A=bi*bj i,j Element {1,2,3} gegeben sind. Vielen Dank für die Hilfe, aber ich weiß leider immer noch nicht wie ich die Matrix ausrechnen kann. DANKE
19.02.2009, 23:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix hoch -1/2 ? Wie sieht also A aus?
20.02.2009, 00:07	Tobus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix hoch -1/2 ? das ist das nächste problem -_- weiß ich leider nicht
20.02.2009, 00:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei ist da das Problem? Es ist $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} b_1\cdot b_1 & b_1\cdot b_2 & b_1\cdot b_3 \\ b_2\cdot b_1 & b_2\cdot b_2 & b_3\cdot b_2 \\ b_3\cdot b_1& b_3\cdot b_2 & b_3\cdot b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wobei das Produkt wohl einfach das Standardskalarprodukt des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ sein soll.
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20.02.2009, 05:02	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzeln von Matrizen sind erstmal nur für positiv semidefinite symmetrische (bzw. hermitesche) Matrizen definiert. Natürlich gibt es noch ganz andere Klassen von Matrizen, für die man eine Wurzel definieren kann. Aber egal, in diesem Fall haben wir eine symmetrishe Matrix gegeben. Man kann eine solche wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} A = \sum_{k=1}^n \lambda_k P_k. \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} \lambda_k \end{eqnarray}$ die verschiedenen Eigenwerte der Matrix und $\begin{eqnarray} P_k \end{eqnarray}$ die Orthogonalprojektionen auf die jeweiligen Eigenräume. Sind die Eigenwerte alle nichtnegativ, so ist die Wurzel einfach definiert durch $\begin{eqnarray} A^{1/2} = \sum_{k=1}^n \sqrt{\lambda_k} P_k. \end{eqnarray}$ Es gilt dann $\begin{eqnarray} (A^{1/2})^2 = A. \end{eqnarray}$ EDIT: Oder noch einfacher: $\begin{eqnarray} A = UDU^{-1} \end{eqnarray}$ mit einer orthogonalen (bzw. unitären) Matrix U und einer Diagonalmatrix D. Sind die Eigenwerte von A alle nichtnegativ, so ist $\begin{eqnarray} A^{1/2} = UD^{1/2}U^{-1}, \end{eqnarray}$ wobei die Diagonaleinträge von $\begin{eqnarray} D^{1/2} \end{eqnarray}$ gerade die Wurzeln der Diagonaleinträge von D (und damit der Eigenwerte von A) sind.

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