Überdeckungssatz von Heine-Borel -> gleichmäßig stetig

20.02.2009, 09:02

Felix

Überdeckungssatz von Heine-Borel -> gleichmäßig stetig

Ich soll mit Hilfe des Überdeckungssatzes von Heine-Borel ( Eine Teilmenge von R ist genau dann kompakt, wenn jede ihrer offenen Überdeckungen eine endliche Überdeckung enthält) beweisen das jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall sogar gleichmäßig stetig ist.

Zu zeigen ist also:

f auf K stetig und jede offene Überdeckung von K enthält eine endliche Überdeckung

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid x-y \mid < \delta \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(y) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt

Ich weiß wie man diese Aussage ohne den Überdeckungssatz beweißt, mir geht es hier darum den Satz mit Hilfe des Überdeckungssatzes zu beweisen.

Ich muss zugeben, dass ich leider ziemlich ratlos bin unglücklich

Könnt ihr mir vielleicht einen ersten Impuls geben?

lg

20.02.2009, 10:29

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig gegeben. Dann gibt es wegen der Stetigkeit zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta=\delta_x=\delta(\varepsilon,x) \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} y\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y-x|<\delta_x \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Dabei ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wohlgemerkt vorläufig fest gewählt gewesen.

Was könntest du jetzt als offene Überdeckung nehmen? Was ist also das Naheliegendste? Und funktioniert der Beweis damit?

20.02.2009, 11:57

Felix

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Ich definiere eine offene Überdeckung durch das Mengensystem $\begin{eqnarray*} C:= \{ G_x:x\in K\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G_x:= ]x - \delta(x,\epsilon), x + \delta(x,\epsilon)[ \end{eqnarray*}$ .

Voraussetzungsgemäß gibt es ein endliches Teilsystem , das K überdeckt. Dieses Teilsystem besteht aus endlich vielen Intervallen $\begin{eqnarray*} I_k:= ]x_k - \delta(x_k,\epsilon), x_k + \delta(x_k,\epsilon)[ \end{eqnarray*}$ . Es gibt daher auch ein $\begin{eqnarray*} min \delta(x_k,\epsilon) \end{eqnarray*}$ . Für dieses ist nun für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid x-y \mid < min \delta (x_k,\epsilon) \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(y) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ,

Ist das so korrekt ?

20.02.2009, 12:42

Mathespezialschüler

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Nein. Wie begründest du den letzten Schritt? Du hast zwei beliebige $\begin{eqnarray*} x,y\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta:=\min_{k=1}^n\delta(x_k,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ (dabei sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der endlich vielen Intervalle). Du musst ja schon noch irgendwo das benutzen, was du reingesteckt hast.

20.02.2009, 12:51

Felix

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Ja das hab ich mir jetzt auch noch gedacht und dabei festgestellt, dass ich nicht weiß wie ich diesen Schritt zeige (wenn er überhaupt möglich ist).

Klar ist mal das man zu einem epsilon immer ein delta finden kann, so dass f auf allen Intervallen $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig ist. Aber wie leite ich daraus her, dass f auch auf der Vereinigung dieser Intervalle gleichmäßig stetig ist (und somit auf K)?

Wenn $\begin{eqnarray*} x,y\in I_k \end{eqnarray*}$ dann ist ja eigentlich nichts mehr zu zeigen. Was aber ist wenn z.B. $\begin{eqnarray*} x \in I_{k-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in I_k \end{eqnarray*}$ ?

Bin ich überhaupt am richtigen WEg?

lg

20.02.2009, 13:12

Mathespezialschüler

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Genau an dieser Stelle tritt tatsächlich ein Problem auf. Ich habe dich auch extra erstmal diesen Weg gehen lassen, damit du siehst, wo ein Problem auftritt, die Formulierung oben war bewusst so gewählt:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was könntest du jetzt als offene Überdeckung nehmen? Was ist also das Naheliegendste? Und funktioniert der Beweis damit?

Er funktioniert damit nämlich nicht. Das Problem ist in obigem Fall nämlich, dass man nur auf

$\begin{eqnarray*} |y-x_k|\leq |y-x|+|x-x_k|<\delta+\delta(x_k,\varepsilon)\leq 2\delta(x_k,\varepsilon) \end{eqnarray*}$

kommt, woraus eben nicht $\begin{eqnarray*} y\in (x_k-\delta(x_k,\varepsilon),x_k+\delta(x_k,\varepsilon)) \end{eqnarray*}$ folgt. Wie könnte man denn versuchen, diesen Missstand zu umgehen?

20.02.2009, 15:44

Felix

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Mein Kopf ist völlig blockiert Hammer

Mir falle alle möglicen Dinge ein die aber allesamt nichts zu bringen scheinen, es ist zum Verzweifeln unglücklich

Es wäre nett wenn du mir nochmal weiterhelfen könntest ...

20.02.2009, 19:10

WebFritzi

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Soweit ich mich erinnere, beweist man diesen Sachverhalt am leichtesten per Widerspruch.

21.02.2009, 11:13

Mathespezialschüler

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Ok, wir wissen:

Zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und jedem $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta(\varepsilon,x) \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} y\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y-x|<\delta(x,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |f(y)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Und der Trick ist jetzt, als Überdeckung die Mengen $\begin{eqnarray*} G_x:=\left(x-\frac{\delta(x,\varepsilon)}{2},x+\frac{\delta(x,\varepsilon)}{2}\right) \end{eqnarray*}$ zu nutzen. Dass das funktioniert, darfst du nun selbst nachrechnen. Man setzt dann natürlich in diesem Fall auch $\begin{eqnarray*} \delta:=\min_{k=1}^n~\frac{\delta(x_k,\varepsilon)}{2} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \{G_{x_1},\ldots,G_{x_k}\} \end{eqnarray*}$ die ausgewählte endliche Teilüberdeckung ist.

21.02.2009, 11:52

Felix

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Zitat:

Soweit ich mich erinnere, beweist man diesen Sachverhalt am leichtesten per Widerspruch.

Der Beweis ohne den Überdeckungssatz wurde auch über Widerspruch bewiesen ...

Zitat:

Und der Trick ist jetzt, als Überdeckung die Mengen $\begin{eqnarray*} G_x:=\left(x-\frac{\delta(x,\varepsilon)}{2},x+\frac{\delta(x,\varepsilon)}{2}\right) \end{eqnarray*}$ zu nutzen

Also doch

Im Prinzip war das eh mein erster Gedanke ich habe ihn dann aber wieder verworfen weil ich gedacht habe irgendeine Unstimmigkeit entdeckt zu haben ...

Liegt x in $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ , dann liegt y bestimmt in einer $\begin{eqnarray*} \delta(x_k,\epsilon/2) \end{eqnarray*}$ - Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ . Es gilt daher
$\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(y) \mid \leq \mid f(x_k) - f(x) \mid + \mid f(x_k) - f(y) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Danke Freude

22.02.2009, 13:06

Mathespezialschüler

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Jup, genau so ist es. Tatsächlich musste man $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ wählen, um auf $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu kommen. Aber ob am Ende $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2\varepsilon \end{eqnarray*}$ da steht, ist ja auch egal. Augenzwinkern

22.02.2009, 17:12

Felix

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Stimmt, hab deswegen sogar schon mal einen Thread erstellt, weil ich mich gefragt hab warum dauernd komplizierte Zwischenschritte gemacht werden, nur damit man am Ende auf $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kommt Big Laugh

Edit:

Die Antworten die ich damals bekommen habe Augenzwinkern

Zitat:

Original von system-agent
Das ist tatsächlich nur Kosmetik.

Zitat:

Original von tmo
Es ist wirklich nur Formsache aber aufgrund der Definition irgendwie auch mehr als nur Kosmetik Augenzwinkern

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