Integral lösen, Klausuraufgabe

20.02.2009, 10:59

Kurvenliebhaber

Integral lösen, Klausuraufgabe

Hi, bin frisch hier im Forum, bin ma gespannt wie das so wird smile

Also ich hab morgen meine Analysis-Klausur und beim üben bin ich auf folgendes Hindernis gestoßen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-r}^{r}~\sqrt{r^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

hab schon versucht $\begin{eqnarray*} r^2-x^2 \end{eqnarray*}$ zu substituieren, bzw 3. binomische Formel angewandt und dann versucht r+x zu substituieren...beides erfolglos. Hoffe ihr könnt mir dabei helfen.

20.02.2009, 11:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
Hallo und herzlich willkommen.

Hier hilft die Substitution x = r * sin(u). Augenzwinkern

20.02.2009, 11:07

Kurvenliebhaber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
yeah, danke für die sauschnelle Antwort smile

ich komm auf das Ergebnis 2r...ist das richtig? Und wie bist du drauf gekommen, hast du das "gesehen" oder is da ein Trick dabei?

20.02.2009, 12:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
Da hier ein Halbkreis mit Radius r integriert wird, kann da nicht 2r rauskommen.

Und da ist kein Trick dabei, sondern 30-jährige Erfahrung. Big Laugh

20.02.2009, 15:23

Kurvenliebhaber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
ok, hab mich jetzt ziemlich weit vorangekämpft und hab jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} r\cdot\int_{-\frac{\Pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}~\cos^2(u)~du \end{eqnarray*}$

ich hoffe das stimmt so, sieht zumindest gut aus Big Laugh

scheint nicht mehr viel zu fehlen, doch wie mach ich von hier aus weiter? partielle integration hilft nix (nach 2. mal hab ich ein + vorm integralzeichen)

wie das integral davon is, is mir klar, aber wie komm ich drauf?

20.02.2009, 15:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
Löse die entstehende Gleichung nach der 2maligen partiellen Integration nach dem gesuchten Integral auf.

Zitat:

Original von Kurvenliebhaber
$\begin{eqnarray*} r\cdot\int_{-\frac{\Pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}~\cos^2(u)~du \end{eqnarray*}$

Müßte das nicht heißen: $\begin{eqnarray*} r^2 \cdot \int_{-\frac{\Pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2}}~\cos^2(u)~du \end{eqnarray*}$ ?

20.02.2009, 15:56

Kurvenliebhaber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
müsste ja eigentlich...ich glaube der Fehler liegt bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} \arccos(\frac{x}{r}) \end{eqnarray*}$ ... ich komme auf: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{r^2}}} \end{eqnarray*}$ aber das ist bestimmt falsch oder?

20.02.2009, 16:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
Wie leitest du denn ab? verwirrt

Du mußt doch nur x = r * sin(u) nach u ableiten.

20.02.2009, 16:10

Kurvenliebhaber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
hab mich auch verschrieben seh ich gerade... ich meinte arcsin, statt arccos:

$\begin{eqnarray*} x= \sin(u)\cdot r \end{eqnarray*}$ und das ist äquivalent zu: $\begin{eqnarray*} u= \arcsin(\frac{x}{r}) \end{eqnarray*}$

dann habe ich: $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}} \end{eqnarray*}$

und ich glaube da liegt der Fehler.

Aber ich weiß wie du es meinst, und so geht es besser, hast recht. Mich hat halt verwirrt, dass ich immer zuerst die Variable schreibe, durch die ich ersetze z.b. u= ... und dann du/dx bilde, aber anders rum gehts ja auch *wieder was gelernt*. Nach deinem Weg kommt man schneller zum Ziel und dann steht auch r^2 da smile

20.02.2009, 16:29

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
Du hast die innere Ableitung vergessen:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}}\cdot \frac 1 r \end{eqnarray*}$

20.02.2009, 16:40

Kurvenliebhaber

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral lösen, Klausuraufgabe
genau Big Laugh

jetzt ist es komplett. vielen dank für die Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Integral lösen, Klausuraufgabe

Verwandte Themen