pythagoreisches Tripel

20.02.2009, 12:50

enmi

pythagoreisches Tripel

hallo,

suche einen allgemeinen beweis für pythagoreische Tripel.

fall1:
gegeben ist die seite a als kleiner kathete eines rechtw. dreiecks (a sei gerade)

=> b = (a/2)² - 1 (größere kathete)
=> c = (a/2)² + 1 (hypothenuse)

a² + b² = c²
a² + (a²/4 - 1)² = (a²/4 + 1)²
a^4 + 8a² + 16 = a^4 + 8a² + 16 q.e.d

fall2:
gegeben ist die seite a als kleiner kathete eines rechtw. dreiecks (a sei ungerade)

=> b = (a²-1)/2 (größere kathete)
=> c = (a²+1)/2 (hypothenuse)

a² + b² = c²
a² + (a²-1)²/4 = (a²+1)²/4
a^4 + 2a² + 1 = a^4 + 2a² + 1 q.e.d

soweit so gut.

ABER:
- wie entstehen die formeln für b und c ?
- weshalb sind 1, 2 und 4 ausnahmen ?

besten dank für eure hilfe
sg
enmi
fall2:

a² + b² = c²
a² + (a²-1)²/4 = (a²+1)²/4
a^4 + 2a² + 1 = a^4 + 2a² + 1 q.e.d

20.02.2009, 12:59

Auf diesen Beitrag antworten »

Suchst du nur irgendwelche, oder wirklich alle pythagoräischen Tripel?

In letzterem Fall verstehe ich in keinster Weise, wie du auf den Schluss kommst

Zitat:

Original von enmi
gegeben ist die seite a als kleiner kathete eines rechtw. dreiecks (a sei gerade)

=> b = (a/2)² - 1 (größere kathete)

der ja klar falsch ist - Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} (a,b,c) = (20,21,29) \end{eqnarray*}$ .

20.02.2009, 20:12

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
danke für die rasche antwort.
es geht darum, dass mit den angegebenen formeln pythagoräischen tripel für gerade und ungerade zahlen berechnet werden können. ausgenommen die zahlen 1, 2 und 4.

sei a = 20 (kleinere kathete)
=> b = (20/2)² - 1 = 99
=> c = (20/2)² + 1 = 101

a² + b² = c²
20² + 99² = 101² w.A.

stimmt also! nur habe ich keine ahnung wie die formeln entwickelt werden.
lg
enmi

20.02.2009, 20:42

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von enmi
es geht darum, dass mit den angegebenen formeln pythagoräischen tripel für gerade und ungerade zahlen berechnet werden können.

Ok, also nochmal ganz deutlich entsprechend meiner obigen Frage (um eine klare Antwort hast du dich ja gedrückt):

Du suchst nicht etwa alle Tripel $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ mit gegebenem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (wie etwa a=20), sondern dir genügt eins davon.

Du fragst, wie diese Formeln entstehen? Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadrate ist ungerade, also könnte man bei ungeradem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ es mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} c=b+1 \end{eqnarray*}$ versuchen. Bei geradem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ klappt das dann natürlich nicht, also geht man noch eins weiter und versucht es da mit Ansatz $\begin{eqnarray*} c=b+2 \end{eqnarray*}$ . Und siehe da, schon erhält man beim Durchrechnen dieser Ansätze die bei dir angegebenen Formeln für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

Selbstverständlich kriegt man mit dieser "Probiermethode" micht alle Pythagoräischen Tripel, aber das haben wir ja gerade geklärt, dass dir eins zu jedem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genügt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

pythagoreisches Tripel

Verwandte Themen