Integral durch Substitution

20.02.2009, 14:43

Sabinee

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Integral durch Substitution

Hallo,

ich habe folgendes Integral gegeben.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe wiefolgt substitutiert.

$\begin{eqnarray*} x=\varphi(t)=\ln(t) \end{eqnarray*}$

Es folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}~dx=\int_{}^{}~\frac{e^{2\varphi(t)}}{e^{2\varphi(t)}+1}\cdot \varphi(t)~dt=\int_{}^{}~\frac{2t}{2t+1}\cdot \frac{1}{t}~dt=\int_{}^{}~\frac{2}{2t+1}~dt=2\ln(t+\frac{1}{2})=2\ln(e^x+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Das scheint mir nicht ganz richtig zu sein.

Was mache ich falsch?

Danke

20.02.2009, 14:52

klarsoweit

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RE: Integral durch Substitution
Es ist $\begin{eqnarray*} e^{2 \cdot ln(t)} \neq 2t \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch ein kleiner Schreibfehler: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}~dx=\int_{}^{}~\frac{e^{2\varphi(t)}}{e^{2\varphi(t)}+1}\cdot \varphi'(t)~dt \end{eqnarray*}$

20.02.2009, 17:39

Sabinee

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RE: Integral durch Substitution
Gilt dann:

$\begin{eqnarray*} e^{2\ln(t)}=t^2 \end{eqnarray*}$ ?

20.02.2009, 18:00

Rare676

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deine substitution ist übrigens nicht gut gewählt. substituiere einfach den Nenner...

20.02.2009, 18:53

klarsoweit

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RE: Integral durch Substitution

Zitat:

Original von Sabinee
Gilt dann:

$\begin{eqnarray*} e^{2\ln(t)}=t^2 \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Die Substitution, wie sie Rare676 vorgeschlagen hat, führt schneller zum Ziel.

20.02.2009, 20:19

Sabinee

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RE: Integral durch Substitution
Also bei der dx-du Methode hätte ich diese Substitution gemacht.
Aber mein Prof erlaubt uns die dx-du Methode nicht, da wir nicht wüssten wieso das damit ginge.

Ich kanns ja Mal nach der dx-du Methode machen.
Dann hätte ich wie Rare676 die Substitution.

$\begin{eqnarray*} u=e^{2x}+1 \end{eqnarray*}$ genommen. Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=2e^{2x}\Rightarrow dx=\frac{du}{2e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}~dx= \int_{}^{}~\frac{1}{2u}~du=\frac{1}{2}\ln(e^{2x}+1) \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich das mit meiner Methode?
Kannst du mir das mal zeigen?

Danke

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20.02.2009, 20:26

Rare676

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Verwende dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^2}{t^2+1}=\frac{t^2+1-1}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

Danach das Integral aufspalten.

20.02.2009, 20:33

Sabinee

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Das wäre aber dann wieder meine Substitution oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{t^2+1-1}{t^2+1}=1-\frac{1}{t^2+1}\Rightarrow F(t)=t-\arctan(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=e^x-\arctan(e^x) \end{eqnarray*}$

Das sieht aber garnicht mehr nach dem Integral aus, dass ich eigentlich rausbekommen soll.

Was mache ich falsch?

20.02.2009, 20:45

WebFritzi

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Rares Tipp ist hier eh nicht relevant, weil ihr vergessen habt, den Zähler durch t zu teilen. Nach der Substitution steht nur noch t im Zähler, und das Integral ist mit

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\ln(f(t)) = \frac{f'(t)}{f(t)} \end{eqnarray*}$

trivial.

20.02.2009, 20:48

Rare676

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Habe gerade bemerkt, dass klarsoweit im ersten post was korrigiert hat.

Es geht also nur um den Term:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^2}{t^2+1}*\frac{1}{t}=\frac{t}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

und jetzt denk an:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{f'(x)}{f(x)} ~dx =\ln(|f(x)|) \end{eqnarray*}$

Edit: zu spät bemerkt...

20.02.2009, 20:51

Sabinee

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Stimmt, da fehlt noch völlig die Ableitung.
Habe es vergessen.

Also muss das hier integriert werden:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{t}{t^2+1}\Rightarrow F(t)=\frac{1}{2}\ln(t^2+1) \Rightarrow F(x)=\frac{1}{2}\ln(e^{2x}+1) \end{eqnarray*}$ .

Ja diese Methode war mir nach klarsoweits Korrektur ohne hin schon klar.

Mir geht es jetzt darum meine Substitutionsmethode mit deiner Substitution zu verwenden.

Kannst du mir dazu was sagen?
Oder zumindest du WebFritzi?

21.02.2009, 18:56

Sabinee

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Hab hier noch ein Integral.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin^3(x)\cdot \cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nach der dx-du-Methode hätte ich die Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=\sin(x) \end{eqnarray*}$ gewählt.

Nach der Methode meines Profs.

$\begin{eqnarray*} x=\varphi(t)=\arcsin(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt hat mein Prof. aber als Lösungshinweis auch die Substitution der dx-du Methode genommen.
Wie würde die Substitution bei der anderen Methode denn aussehen?

22.02.2009, 13:15

Mathespezialschüler

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Man kann die Substitutionsformel

$\begin{eqnarray*} \int~f(\varphi(x))\varphi'(x)~\mathrm dx=\int~f(u)~\mathrm du \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u=\varphi(x) \end{eqnarray*}$ unter den entsprechenden Voraussetzungen in beide Richtungen anwenden. In deinem Fall kannst du $\begin{eqnarray*} u=\sin x=:\varphi(x) \end{eqnarray*}$ substituieren und die Gleichung von links nach rechts anwenden. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} \varphi'(x)=\cos x \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \int~\sin^3x\cdot\cos x~\mathrm dx=\int~u^3~\mathrm du \end{eqnarray*}$ .

22.02.2009, 13:19

Sabinee

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Am Ende muss ich ja noch diesen Schritt machen:

$\begin{eqnarray*} \left(\int~f(\varphi(x))\varphi'(x)~\mathrm dx\right)\circ \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$
und dann hätte ich da aber den $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ oder?

22.02.2009, 13:28

Mathespezialschüler

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Nein, du nutzt die Gleichung diesmal in umgekehrter Reihenfolge. Wenn man das so schreiben will, dann von mir aus also

$\begin{eqnarray*} \int~f(\varphi(x))\varphi'(x)~\mathrm dx=\left[\left(\int~f(u)~\mathrm du\right)\circ\varphi\right](x) \end{eqnarray*}$ .

22.02.2009, 21:10

Sabinee

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Super, Dankeschön smile

smile

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